Janvier 2017

9 janvier (PRG) Judith Ludwig (Bonn)
A quotient of the Lubin-Tate tower.
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In this talk we explain how to construct the quotient of an infinite-level Lubin-Tate space by the Borel subgroup $B(Q_p)$ of upper triangular matrices in $GL(2,Q_p)$ as a perfectoid space. The motivation for this is as follows. Scholze recently constructed a candidate for the mod p Jacquet-Langlands correspondence and the mod p local Langlands correspondence for $GL(n,F)$, $F/Q_p$ finite. Given a smooth admissible representation $\pi$ of $GL(n,F)$, the candidate for these correspondences is given by the etale cohomology groups of the adic projective space $P^{n-1}$ with coefficients in a sheaf $F_\pi$ that one constructs from $\pi$. The finer properties of this candidate remain mysterious. As an application of the quotient construction one can show that in the case of n=2, $F=Q_p$, and $\pi$ an irreducible principal series representation or a twist of the Steinberg representation, the cohomology $H^i_{et}(P^1,F_\pi)$ is concentrated in degree one..

Décembre 2016

12 décembre (PRG) Michael Rapoport (Bonn)
Uniformisation p-adique de courbes de Shimura.
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Les courbes de Shimura sont des courbes algébriques qui possèdent une uniformisation complexe comme quotient du demi-plan de Poincaré par l'action d'un groupe arithmétique. Cherednik a observé, il y a 40 ans, que sous certaines hypothèses ces courbes possèdent aussi une uniformisation p-adique par le demi-plan de Drinfeld. Je vais expliquer une démonstration d'une variante de ce résultat. Il s'agit d'un travail en commun avec S. Kudla et Th. Zink, qui est en relation étroite, comme il se doit ces jours-ci, d'un résultat de P. Scholze.
5 décembre (Jussieu) Alberto Minguez (IMJ)
Quelques déterminants dans la théorie de représentations de GL(n,F), où F est un corps p-adique.
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Soit $F$ un corps local non-archimédien de caractéristique résiduelle $p$. Soit $R=\oplus_{n\geq 0} R_n$, où $R_n$ est le groupe de Grothendieck de représentations lisses complexes de longueur finie de ${\rm GL}(n,F)$. Le $\mathbb{Z}$-module $R$ possède deux bases : l'une formée par les représentations irréductibles de ${\rm GL}(n,F)$, $n \geq 0$ ; l'autre formée par les modules standard. Le matrice de changement de base est triangulaire et ses coefficients peuvent être exprimes en termes de polynômes de Kazhdan-Lusztig. Dans le cas où $\pi$ est une représentation de Speh, Tadi\'c d'abord et puis Chenevier-Renard ont montré que ces coefficients sont $\pm 1$: en fait $\pi$ est le déterminant d'une certaine matrice à coefficients dans $R$. Ce résultat a été généralisé par Lapid-Mínguez pour des représentations en échelle. Si on s'intéresse à des représentations $\ell$-modulaires, $\ell \neq p$, une des différences principales est que le notions de représentation cuspidale et représentation supercuspidale diffèrent. Dans cet exposé je vais montrer qu'une formule de déterminant à coefficients dans un certain complété de $R$ permet de calculer les coefficients des représentations cuspidales dans la base des modules standard de support supercuspidal. En particulier on peut expliciter le noyau du morphisme de reduction modulo $\ell$ et, comme application, on montrera que le morphisme de Langlands-Jacquet de Badulescu se réduit bien modulo $\ell$. C'est un travail en collaboration avec V. Sécherre.

Novembre 2016

28 novembre (PRG) Daniel Disegni (Orsay)
La formule de Gross-Zagier p-adique universelle
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La formule de Gross-Zagier relie la hauteur d'un point de Heegner sur une courbe elliptique à la dérivée d'une fonction L de Rankin-Selberg. Elle admet des analogues, complexes ou p-adiques, et en générale conjecturales, pour formes de Hilbert poids quelconque. Ici je vais expliquer la construction d'un "cycle de Heegner universel" P : c'est une section d'un faisceau de groupes de Selmer sur la variété de Hecke E pour une forme intérieure de GL(2)xU(1). Je vais proposer une formule pour la hauteur p-adique de P en termes de fonctions L p-adiques et expliquer la preuve sur la partie ordinaire de E. On obtient des applications à la conjecture de BSD p-adique et à la théorie d'Iwasawa pour les forme de Hilbert.
21 novembre (Jussieu) Gerard Freixas Montplet (IMJ)
Surfaces modulaires de Hilbert tordues, Riemann-Roch arithmétique et correspondance de Jacquet-Langlands
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La formule de Riemann-Roch arithmétique est un résultat fondamental en géométrie d'Arakelov, qui raffine là la fois la formule en géométrie algébrique et en géométrie différentielle. Je parlerai du cas des surfaces de Hilbert tordues, pour lesquelles la formule permet de calculer le volume du réseau des formes de Hilbert de poids parallèle 2, par rapport à la norme de Petersson, en termes de classes charactéristiques "arithmétiques" et un invariant spectral appelé torsion analytique holomorphe. La correspondance de Jacquet-Langlands, pour les formes holomorphes et pour les formes non-holomorphes, implique une compatibilité de la formule de Riemann-Roch en question pour les surfaces de Hilbert tordues, avec la formule pour une courbe de Shimura non PEL. Il en découle des relations entre leurs classes charactéristiques arithmétiques, qui sont souvent difficiles à calculer, spécialement dans des situations non PEL. Ce projet est né comme un expériment pour tester des idées qui pourraient permettre, plus tard, de démontrer une formule de Riemann-Roch arithmétique pour les surfaces modulaires de Hilbert "non-compactes", pour lesquelles les résultats de la théorie d'Arakelov, tel qu'on la connaît, ne s'appliquent plus. Il s'agit d'un travail en commun avec Siddarth Sankaran.
14 novembre (Jussieu) Séminaire Paris-Londres
7 novembre (Jussieu) Shou-Wu Zhang (Princeton)
A p-adic Waldspurger formula
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In this talk, I will explain a p-adic Waldspurger formula proved by Bertolini– Darmon–Prasanna under the Heegner condition, and in full generality later by Liu–Zhang–Zhang. I will start with a classical Waldspurger formula on complex modular forms and a Gross–Zagier formula on rational modular forms, then define p-adic modular forms, p-adic L-functions, p-adic period integrals, and finally state a p-adic Waldspurger formula.

Octobre 2016

31 octobre Férié
24 octobre (Jussieu) Tian An Wong (MPIM, Bonn)
On smoothing singularities of elliptic orbital integrals and Beyond Endoscopy
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Beyond Endoscopy is a strategy proposed by R. Langlands in 2001 to prove Functoriality, a key conjecture of the Langlands Program. Recent work of S.A. Altug completes the 'preliminary analysis' first considered by Langlands. In this talk, I will outline these ideas, following J. Arthur's elaboration of them, and discuss a framework for a tempered form of the Arthur-Selberg trace formula. I will also report on generalizing certain aspects of Altug's analysis to $\mathrm{GL}(n)$. In particular, we show that the use of the approximate functional equation to smooth singularities of real orbital integrals generalizes to this case. This portion is joint work with O.E. Gonzalez, C.H. Kwan, S.J. Miller, and R. Van Peski.
17 octobre (PRG) Farrell Brumley (Paris 13 et IMJ-PRG)
Périodes et croissance asymptotique des fonctions propres arithmétiques
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Etant donné un espace localement symétrique $Y$ nous nous intéressons aux propriétés de localisation des suites de fonctions propres de l'anneau des opérateurs différentielles invariants. Lorsque $Y$ est de type non compact, les principes de chaos quantique suggèrent que de tels états propres devraient se délocaliser. L'une des expressions concrées de ce comportement attendu est que les normes sup d'une suite générique de fonctions propres $L^2$ normalisées devraient être aussi petites que possible. On appelle ces suites tempérées, en analogie avec la conjecture de Ramanujan dans la théorie des formes automorphes. On aimerait savoir sous quelles conditions l'espace $Y$ admet une suite non tempérée de fonctions propres, c'est-à -dire, telle que les normes sup croissent comme une puissance de la valeur propre. Nous donnons une réponse à  cette question dans le cas arithmétique, en fonction des propriétés de récurrence des opérateurs de Hecke. En fait, nos techniques, comme celles précédentes, nous permettent de saisir la taille de certaines périodes automorphes anisotropes à  travers une comparaison de formules des traces, et le critère qui assure la présence de suites non tempérées peut se lire sur la mesure de Plancherel d'une variété symétrique $G/H$ sous-jacente. Il s'agit d'un travail en commun avec Simon Marshall.
10 octobre (Jussieu) Macarena Peche (IMJ-PRG)
La réduction des représentations cristallines $G$-ordinaires avec $G$-structure
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Le foncteur $D_{\mathrm{cris}}$ de Fontaine nous permet de passer des représentations crystallines aux isocrystaux. Pour un groupe réductif $G$, on veut étudier la réduction des réseaux dans une représentation cristalline avec $G$-structure $V$, vers les cristaux avec $G$-structure contenus dans $D_{\mathrm{cris}}(V)$. En utilisant la théorie des modules de Kisin, on peut donner une description de cette réduction en termes du groupe $G$, dans le cas où la représentation $V$ est $G$-ordinaire. Pour cela, il faut d'abord généraliser la construction de la filtration de Harder-Narasimhan des groupes $p$-divisibles, donnée par Fargues, aux modules de Kisin.
3 octobre (PRG) Alexander Ivanov (IMJ-PRG)
Affine Deligne-Lusztig theory
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The classical Deligne-Lusztig theory gives a geometric tool to construct representations of the finite group of rational points of a reductive group over a finite field. We develop an affine version of this, by constructing families of extended affine Deligne-Lusztig varieties attached to a reductive group $G$ over a local field. The cohomology of (certain covers of) these varieties conjecturally allows to realize the local Langlands correspondence and the automorphic induction of characters of maximal tori in $G$. We show this conjecture for $G = \mathrm{GL}_2$ and at most tamely ramified tori (and all characters of arbitrary deep level).