Novembre 2016

21 novembre (Jussieu) Gerard Freixas Montplet (IMJ)
Surfaces modulaires de Hilbert tordues, Riemann-Roch arithmétique et correspondance de Jacquet-Langlands
▽ résumé △ résumé [affiche]
La formule de Riemann-Roch arithmétique est un résultat fondamental en géométrie d'Arakelov, qui raffine là la fois la formule en géométrie algébrique et en géométrie différentielle. Je parlerai du cas des surfaces de Hilbert tordues, pour lesquelles la formule permet de calculer le volume du réseau des formes de Hilbert de poids parallèle 2, par rapport à la norme de Petersson, en termes de classes charactéristiques "arithmétiques" et un invariant spectral appelé torsion analytique holomorphe. La correspondance de Jacquet-Langlands, pour les formes holomorphes et pour les formes non-holomorphes, implique une compatibilité de la formule de Riemann-Roch en question pour les surfaces de Hilbert tordues, avec la formule pour une courbe de Shimura non PEL. Il en découle des relations entre leurs classes charactéristiques arithmétiques, qui sont souvent difficiles à calculer, spécialement dans des situations non PEL. Ce projet est né comme un expériment pour tester des idées qui pourraient permettre, plus tard, de démontrer une formule de Riemann-Roch arithmétique pour les surfaces modulaires de Hilbert "non-compactes", pour lesquelles les résultats de la théorie d'Arakelov, tel qu'on la connaît, ne s'appliquent plus. Il s'agit d'un travail en commun avec Siddarth Sankaran.
14 novembre (Jussieu) Séminaire Paris-Londres
7 novembre (Jussieu) Shou-Wu Zhang (Princeton)
A p-adic Waldspurger formula
▽ résumé △ résumé [affiche]
In this talk, I will explain a p-adic Waldspurger formula proved by Bertolini– Darmon–Prasanna under the Heegner condition, and in full generality later by Liu–Zhang–Zhang. I will start with a classical Waldspurger formula on complex modular forms and a Gross–Zagier formula on rational modular forms, then define p-adic modular forms, p-adic L-functions, p-adic period integrals, and finally state a p-adic Waldspurger formula.

Octobre 2016

31 octobre Férié
24 octobre (Jussieu) Tian An Wong (MPIM, Bonn)
On smoothing singularities of elliptic orbital integrals and Beyond Endoscopy
▽ résumé △ résumé [affiche]
Beyond Endoscopy is a strategy proposed by R. Langlands in 2001 to prove Functoriality, a key conjecture of the Langlands Program. Recent work of S.A. Altug completes the 'preliminary analysis' first considered by Langlands. In this talk, I will outline these ideas, following J. Arthur's elaboration of them, and discuss a framework for a tempered form of the Arthur-Selberg trace formula. I will also report on generalizing certain aspects of Altug's analysis to $\mathrm{GL}(n)$. In particular, we show that the use of the approximate functional equation to smooth singularities of real orbital integrals generalizes to this case. This portion is joint work with O.E. Gonzalez, C.H. Kwan, S.J. Miller, and R. Van Peski.
17 octobre (PRG) Farrell Brumley (Paris 13 et IMJ-PRG)
Périodes et croissance asymptotique des fonctions propres arithmétiques
▽ résumé △ résumé [affiche]
Etant donné un espace localement symétrique $Y$ nous nous intéressons aux propriétés de localisation des suites de fonctions propres de l'anneau des opérateurs différentielles invariants. Lorsque $Y$ est de type non compact, les principes de chaos quantique suggèrent que de tels états propres devraient se délocaliser. L'une des expressions concrées de ce comportement attendu est que les normes sup d'une suite générique de fonctions propres $L^2$ normalisées devraient être aussi petites que possible. On appelle ces suites tempérées, en analogie avec la conjecture de Ramanujan dans la théorie des formes automorphes. On aimerait savoir sous quelles conditions l'espace $Y$ admet une suite non tempérée de fonctions propres, c'est-à -dire, telle que les normes sup croissent comme une puissance de la valeur propre. Nous donnons une réponse à  cette question dans le cas arithmétique, en fonction des propriétés de récurrence des opérateurs de Hecke. En fait, nos techniques, comme celles précédentes, nous permettent de saisir la taille de certaines périodes automorphes anisotropes à  travers une comparaison de formules des traces, et le critère qui assure la présence de suites non tempérées peut se lire sur la mesure de Plancherel d'une variété symétrique $G/H$ sous-jacente. Il s'agit d'un travail en commun avec Simon Marshall.
10 octobre (Jussieu) Macarena Peche (IMJ-PRG)
La réduction des représentations cristallines $G$-ordinaires avec $G$-structure
▽ résumé △ résumé [affiche]
Le foncteur $D_{\mathrm{cris}}$ de Fontaine nous permet de passer des représentations crystallines aux isocrystaux. Pour un groupe réductif $G$, on veut étudier la réduction des réseaux dans une représentation cristalline avec $G$-structure $V$, vers les cristaux avec $G$-structure contenus dans $D_{\mathrm{cris}}(V)$. En utilisant la théorie des modules de Kisin, on peut donner une description de cette réduction en termes du groupe $G$, dans le cas où la représentation $V$ est $G$-ordinaire. Pour cela, il faut d'abord généraliser la construction de la filtration de Harder-Narasimhan des groupes $p$-divisibles, donnée par Fargues, aux modules de Kisin.
3 octobre (PRG) Alexander Ivanov (IMJ-PRG)
Affine Deligne-Lusztig theory
▽ résumé △ résumé [affiche]
The classical Deligne-Lusztig theory gives a geometric tool to construct representations of the finite group of rational points of a reductive group over a finite field. We develop an affine version of this, by constructing families of extended affine Deligne-Lusztig varieties attached to a reductive group $G$ over a local field. The cohomology of (certain covers of) these varieties conjecturally allows to realize the local Langlands correspondence and the automorphic induction of characters of maximal tori in $G$. We show this conjecture for $G = \mathrm{GL}_2$ and at most tamely ramified tori (and all characters of arbitrary deep level).