Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

Soit $G$ le groupe des points d'un groupe réductif connexe défini sur un corps local non archimédien. Considérons l'ensemble $\Theta$ des classes de conjugaisons de couples $(M,\mathcal O)$ formé d'un sous-groupe de Levi $M$ de $G$ et de l'orbite inertielle $\mathcal O$ d'une représentation irréductible cuspidale de $M$. D'après un résultat de J. Bernstein, la catégorie $\operatorname{Rep}(G)$ des représentations irréductibles lisses de $G$ est un produit direct indexé par l'ensemble $\Theta$, $\operatorname{Rep}(G)=\prod_{[M,\mathcal O]\in \Theta}\operatorname{Rep}(G)_{[M,\mathcal O]}$. Fixons un couple $(M,\mathcal O)$. J. Bernstein a également explicité des générateurs projectifs dans la catégorie $\operatorname{Rep}(G)_{[M,\mathcal O]}$. L'objet de l'exposé est de déterminer, pour un certain choix de générateur projectif $P$, l'algèbre $\\operatorname{End}_G(P)$ et de mettre le résultat en relation avec les algèbres de Hecke avec paramètres définies par $G$. Lusztig. A certains instants, nous aurons toutefois à poser des hypothèses supplémentaires sur le groupe $G$ qui sont par exemple vérifiées si $G$ provient d'un groupe classique déployé.

I will report on a joint project with M.-F. Vigneras in which we aim at a natural functor from smooth representations in characteristic $p > 0$ to étale $(\varphi,\Gamma)$-modules (possibly infinite dimensional). At present we have such a construction conditional on a certain structural property of smooth representations.

Igusa varieties are very useful in studying bad reduction of certain PEL-type Shimura varieties. By the result of Mantovan, the cohomology of such Shimura varieties can be expressed in terms of the cohomology of Igusa varieties and that of Rapoport-Zink spaces. In the work of Harris and Taylor on the Langlands correspondence, it is an important step to establish yet another relation between the cohomology spaces of Igusa varieties and Shimura varieties. This step relies on precise understanding of moduli data in characteristic $p$ as well as the techniques in harmonic analysis and the trace formula. I will present a recent work which works out this step in the case where endoscopy is nontrivial, assuming certain conjectures in representation theory.

Soit $F$ une extension finie non-ramifiée de $\mathbb Q_p$ de degré $f$ et $\rho$ une représentation continue de dimension $2$ de $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb Q}_p/F)$ sur $\overline{F}_p$ suffisamment générique. On associe à $\rho$ une famille (infinie lorsque $f > 1$) de représentations lisses admissibles de $\operatorname{GL}_2(F)$ sur $\overline{F}_p$ de $\operatorname{GL}_2(\mathcal O_F)$-socle les poids de Diamond-Buzzard-Jarvis de $\rho$. On espère que ces familles contiennent les "bonnes" représentations de $\operatorname{GL}_2$ associées à $\rho$ (celles apparaissant dans la cohomologie $\bmod p$ par exemple).

We consider a complete non-singular curve $C$ and its Jacobian $J$. In the study of algebraic cycles on $J$ we have a number of interesting structures at our disposal. E.g., in addition to the usual intersection product $\cdot$, the Chow ring $\operatorname{CH}(J)$ carries a second ring structure: the Pontryagin product $\ast$. Also we have the Fourier transform $\mathcal F \colon \operatorname{CH}(J) \to \operatorname{CH}(J)$ that exchanges the two products. Now we can make cycle classes on $J$ by starting with the class of $C \subset J$, using all operations $n^\ast, \mathcal F, \cdot$ and $\ast$, and taking linear combinations. The resulting subring $\mathcal Y(C) \subset \operatorname{CH}(J)$ is called the \textit{tautological ring of $C$}. In our talk we shall try to explain some general results of Beauville and Polishchuk; in particular it is known that the tautological ring is finitely generated, with an explicit set of generators. The main theme of my talk will be the connections between geometric properties of the curve $C$ and the structure of the tautological ring. E.g., extending an older result of Colombo and van Geemen, recent results of Herbaut and van der Geer and Kouvidakis show that the existence of linear systems of a given rank and degree translate into relations between the generators of $\mathcal T(C)$ modulo algebraic equivalence. We shall also discuss if, and how, one can lift such results to the full Chow ring of $J$.

Let $F$ be a non-Archimedean local field and let $p$ be the residual characteristic of $F$. Let $G=\operatorname{GL}_2(F)$ and let $P$ be a Borel subgroup of $G$. In this paper we study the restriction of smooth irreducible representations of $G$ on $E$-vector spaces to $P$, where $E$ is an algebraically closed field of characteristic $p$. We show that in a certain sense $P$ controls the representation theory of $G$. We then extend our results to smooth $\mathcal O_K[G]$-modules of finite length and unitary $K$-Banach space representations of $G$, where $\mathcal O_K$ is the ring of integers of a complete discretely valued field $K$, with residue field $E$.

Je vais formuler quelques questions sur les variétés modulaires de Hilbert, et ensuite répondre à quelques autres questions.

For a split reductive group $G$ over a non-Archimedean locally compact field $F$ and a parabolic subgroup $P \subset G$ I am going to consider the corresponding special $G$-representation with coefficients in a ring $L$. For example, if $P$ is a Borel subgroup then this is the Steinberg representation (with coefficients in $L$). I will be particularly interested in the restriction of these representations to Iwahori subgroups in $G$.

Let $G$ be a reductive $p$-adic group. We prove that all supercuspidal representations of $G$ arise through Yu's construction subject to certain hypotheses on $k$ (depending on $G$). As a corollary, under the same hypotheses, we see that any supercuspidal representation is compactly induced from a representation of an open subgroup which is compact modulo the center.

Soit $F$ un corps $p$-adique et soit $D$ une $F$-algèbre à division de dimension finie. Nous prouvons que toute représentation irréductible unitaire d'un sous-groupe de Levi de $\operatorname{GL}_m(D)$ s'induit irréductiblement à $\operatorname{GL}_m(D)$. Ceci met fin à la classification du dual unitaire de $\operatorname{GL}_m(D)$ élaborée par Tadić. L'idée de la preuve est d'utiliser la théorie des paires couvrantes de Bushnell-Kutzko pour se ramener au cas d'un groupe linéaire déployé, pour lequel le résultat est déjà connu.

Dans cet exposé on donnera une nouvelle preuve de la correspondance de Howe pour les paires duales de type $(\operatorname{GL}_n,\operatorname{GL}_m)$ qui s'étend à des représentations $l$-modulaires quand $l$ est banal. Elle nous permet aussi d'expliciter la correspondance en termes des paramètres de Langlands.

Cet exposé est la suite de celui d'Anne-Marie Aubert : on montrera que toutes les représentations supercuspidales irréductibles des groupes classiques $p$-adiques, $p>2$, sont obtenues par la construction exposée le 14 décembre.

In this talk I will describe the center of a category of $(\mathfrak g,K)$-modules for a real/complex semisimple algebraic group and explain the relation to the center of category of smooth modules for a reductive $p$-adic group. This is a joint work with G. Savin. (See 20th paper on http://web.math.hr/\~{}gmuic).

Nous décrirons le procédé de construction par Shaun Stevens des représentations supercuspidales et des types de Bushnell-Kutzko associés des groupes symplectiques, spéciaux orthogonaux et unitaires sur un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle impaire.

Fix a $p$-divisible group over an algebraically closed field of characteristic $p$ and consider its deformations to characteristic zero. In 1970 Grothendieck posed the question to determine the set of all Hodge filtrations which can occur as the Hodge filtration of such a deformation. It is a subset of a Grassmannian. As a first step Rapoport and Zink constructed in their book a rigid-analytic period space Fwa inside this Grassmannian which contains all these Hodge filtrations. In my talk I show that however, almost always Fwa contains Berkovich points which do not correspond to Hodge filtrations, and I construct a Berkovich open subspace Fa of Fwa which I conjecture to be the answer to Grothendieck's question. (Preprint on arXiv:math.NT/0605254 )

Nous présenterons un résultat concernant les fonctions définies par des intégrales sur les corps locaux non-archimédiens. Ce théorème permet, à partir d'une égalité entre des fonctions définies par des intégrales valide sur les corps de fonctions, d'obtenir l'égalité analogue sur les corps $p$-adiques et vice-versa. Nous exposerons également la théorie des fonctions constructibles motiviques qui constitue un cadre naturel pour l'énoncé du résultat et sa démonstration. L'ensemble de ces travaux a été effectué en collaboration avec Raf Cluckers.

Let $E$ be an elliptic curve over $\mathbb Q$. A theorem of Waldspurger asserts that the L-function of some quadratic twist of $E$ is nonzero at the center. I will fornulate a conjectural $\bmod p$ analog of this theorem and explain some related results that are obtained by studying the $p$-adic properties of the Shimura correspondence. (For those who were at the AAG meeting in El Escorial, this will be a souped up version of my talk there.