Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

We compute semisimplified $\bmod p$ reductions of some families of two-dimensional $E$-linear crystalline representations of $G_K$, where $K$ is any finite unramified extension of $\mathbb Q_p$ and $E$ any finite, large enough extension of $K$.

Local models are schemes, defined in terms of linear algebra, that were introduced by Rapoport and Zink to study the étale-local structure around points in the special fiber of integral models of certain PEL Shimura varieties over $p$-adic fields. A basic requirement for the local models is that they be flat. When the group defining the Shimura variety is split $\operatorname{GO}_{2n}$, Genestier observed that the naive definition of the local model does not yield a flat scheme. In a recent preprint, Pappas and Rapoport introduced a new condition to the moduli problem defining the local model, the so-called spin condition, and conjectured that the "spin" local models are flat. I will report on some work towards obtaining a better understanding of the spin condition for these schemes.

D'après les travaux de Schechtman-Varchenko et Finkelberg-Schechtman, il est connu qu'il y a une équivalence entre la catégorie des modules sur le groupe quantique et une catégorie géométrique des "Faisceaux Factororizables". Dans cet exposé je vais demontrer comment on peut obtenir cette équivalence en utilisant le formalisme de dualité de Koszul et catégories chirales. C'est un travail un cours avec Jacob Lurie.

Soit $d \geq 1$ et $K$ un corps de nombres. Soit $\pi$ une représentation automorphe cuspidale de $\operatorname{GL}_d$ sur $K$. Iwaniec et Sarnak ont défini le conducteur analytique $C(\pi,s)$. On a la majoration dite de convexité : \[ \vert L(\pi,s) \vert \ll_\varepsilon C(\pi,s)^{1/4+\varepsilon} \] uniformément pour $s$ sur la droite critique $\Re(s)=1/2$ et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit. Le problème de sous-convexité (uniforme en tous les paramètres) consiste a remplacer l'exposant $1/4+\varepsilon$ ci-dessus par un exposant de la forme $1/4−\delta$ pour une constante absolue $\delta>0$. Dans cet exposé, nous expliquons la résolution de ce problème pour $d=1$ ou $d=2$ (ainsi que pour d'autres fonctions L). Nous donnons certaines applications du caractère uniforme (en les divers paramètres) de la majoration de sous-convexité obtenue. Il s'agit d'un travail en commun avec A. Venkatesh.

Kottwitz and Rapoport conjectured a root-system type statement that implies the converse to Mazur's Inequality for all (split) groups, and that can be used to establish a criterion for the non-emptiness of certain affine Deligne-Lusztig varieties. We prove their conjecture. In addition, we show how this result gives the vanishing of higher cohomology groups for certain line bundles on toric varieties associated with root systems.

Nous décrirons, au moyen d'un quotient étendu provenant du Centre de Bernstein, une structure géométrique simple conjecturalement sous-jacente aux questions de réductibilité des représentations induites paraboliques des groupes réductifs $p$-adiques. Nous illustrerons ces notions par l'étude du cas du groupe général linéaire et de celui de la série principale du groupe exceptionnel de type $G2$.

Si $V$ est une représentation $p$-adique semi-stable de dimension $3$ du groupe de Galois de $\mathbb Q_p$ dont l'opérateur de monodromie est de rang $2$, sa filtration de Hodge dépend de trois paramètres $L$, $L'$, $L''$. On montre qu'il existe un complexe de représentations localement analytiques de $\operatorname{GL}_3(\mathbb Q_p)$ dépendant de ces trois paramètres. On peut alors retrouver le $(\varphi,N)$-module filtré associé à $V$ en considérant les morphismes de ce complexe vers le complexe de de Rham de l'espace de Drinfel'd dans une catégorie dérivée convenable.

Cet exposé explore la géométrie de la réduction modulo $p$ de variétés modulaires de Hilbert en des places divisant le discriminant du corps totalement réel. La classification à isomorphisme près (due à Manin) des modules de Dieudonné s'adapte très bien aux modules de Dieudonné à multiplication réelle. Nous utilisons la structure algébro-géométrique de la classification pour définir une stratification, dite de Manin, de la fibre spéciale de la variété modulaire de Hilbert. Il s'avère que cette stratification naturelle coïncide avec la stratification par la pente due à F. Andreatta et E. Goren, mais notre approche permet d'en apprendre un peu plus sur celle-ci. Nous illustrerons notre propos dans le cas des surfaces modulaires de Hilbert par un court détour via les cycles évanescents. L'intérêt d'une telle étude est que les stratifications un peu fines habituelles, très utiles en places de bonne réduction, deviennent un peu pathologiques en places de mauvaise réduction i.e., elles acquièrent un nombre infini de strates. De plus, notre construction est généralisable à d'autres variétés de Shimura; nous donnerons quelques détails pour les variétés e.g., unitaires, le temps permettant.

On introduit un analogue géométrique de la représentation de Weil du groupe métaplectique sur un corps local non archimedian. C'est une catégorie de certains faisceaux pervers sur un champ, ou le groupe métaplectique agit par les foncteurs. On l'applique pour établir le théta-lifting géométrique dans la situation suivante. Soit $X$ une courbe et $\operatorname{Bun}_{\operatorname{Sp}_{2n}}$, $\operatorname{Bun}_{\operatorname{SO}_{2n}}$ les champs des modules des torseurs sur $X$ pour les groupes symplectique $\operatorname{Sp}_{2n}$ et orthogonal $\operatorname{SO}_{2m}$ respectivement. On introduit des foncteurs de théta-lifting entre les catégories dérivées correspondantes $D(\operatorname{Bun}_{\operatorname{Sp}_{2n}})$ et $D(\operatorname{Bun}_{\operatorname{SO}_{2n}})$. On décrit la relation entre ces foncteurs et les foncteurs de Hecke, ce qui établit la fonctorialité de Langlands géométrique pour cette paire duale. Si le temps le permet, j'expliquerai comment étendre les arguments au cas des groupes de similitudes $\operatorname{GSp}_{2n}$, $\operatorname{GO}_{2m}$. Comme application de ce dernier cas, on démontre la conjecture de Langlands géométrique pour $\operatorname{GSp}_4$ dans le cas endoscopique (partout non ramifié).

L'indice $L^2$ d'un opérateur de Dirac sur un espace localement symétrique de volume fini s'exprime naturellement au moyen de la formule des traces invariante d'Arthur appliquée à une fonction indice. Cependant, Arthur ne donne qu'un théorème d'existence pour les coefficients intervenant dans les contributions non semi-simples du développement géométrique de la Formule des Traces. On se propose de contourner le problème en utilisant certains résultats récents de la théorie de l'endoscopie afin d'obtenir une formule géométrique aussi explicite que possible, au moins dans des cas particuliers.

Any torsor under a semisimple group on a smooth projective curve becomes trivial when one removes a point from the curve. Pappas and Rapoport conjectured that a similar result should hold for torsors under a semisimple Bruhat-Tits-group scheme on a curve. We give a prove of this conjecture and deduce some results on the modulistack of torsors, which have also been conjectured by Pappas and Rapoport.

The definition of a toroidal automorphic form is due to Don Zagier, who showed that the vanishing of certain integrals of Eisenstein series over tori in $\operatorname{GL}_2$ is related to the vanishing of the Riemann zeta function at the weight of the Eisenstein series; and thus a relation between the unitarizability of the space of unramified toroidal automorphic forms and the Riemann hypothesis. In this talk, we use an adelic approach for function fields of curves over finite fields. We will prove that in that case, the space of unramified toroidal automorphic forms is finite-dimensional, we will show dimension formulas and we will discuss the connection of unitarizability of toroidal automorphic forms with the Riemann hypothesis for global function fields (which was proven by Andre Weil).

Period domains over finite fields are Zariski-open subsets of flag varieties defined by a semi-stability condition. They were introduced and discussed by M. Rapoport in his paper "Period domains over finite and local fields". In this talk I want to discuss their relationship to Deligne-Lusztig varieties and their fundamental groups.

On se fixe $F$ un corps local non archimédien de caractéristique zéro, $G$ les points sur $F$ d'un groupe algébrique réductif défini sur $F$, et $s$ une involution rationnelle de $G$ définie sur $F$. On note $H$ le groupe des points fixes de $G$ sous l'action de $s$, $X(G,s)$ la composante neutre de l'ensemble des caractères complexes de $G$, $s$-antiinvariants. Soit $P$ un $s$-sous-groupe parabolique de $G$ : l'intersection $M$ de $P$ et $s(P)$ est un Lévi de $P$, $s$-stable. Il s'agit de construire à partir d'une représentation $R$ de $M$, lisse et irréductible, une famille rationnelle de distributions au dessus de la variété algébrique $X(G,s)$, qui soient des formes linéaires sur l'induite de $R$, de $P$ à $G$, et invariantes sous l'action de $H$.

Un espace symétrique réductif $p$-adique est le quotient d'un groupe réductif $p$-adique $G$ par un sous-groupe $H$ de points fixes par une involution rationnelle de $G$. Un groupe réductif $p$-adique peut être considéré comme un cas particulier d'espace symétrique réductif $p$-adique $G/H$. Dans un travail en commun avec Patrick Delorme, qui est une première étape dans l'étude de l'analyse harmonique sur $G/H$, nous obtenons un analogue de la décomposition de Cartan pour ces espaces. Cette décomposition est liée au fait que l'immeuble de Bruhat-Tits de $G$ est la réunion de ses appartements stables par l'involution définissant $H$, ce que l'on peut voir comme une généralisation du fait que deux points quelconques de l'immeuble de Bruhat-Tits d'un groupe réductif $p$-adique sont dans un appartement commun.

I will discuss two foundational results on continuous representation theory of $p$-adic Lie groups: the Auslander regularity of the locally analytic distribution algebra and its faithful flatness over continuous distributions. If time permits I will indicate two applications: a dimension theory for admissible locally analytic representations and the construction of a well-behaved functor from admissible Banach space representations to admissible locally analytic representations.

On formule une conjecture sur l'existence d'une, deux, ou trois formes compagnons pour une forme cuspidale sur $\operatorname{GSp}_4$ sous certaines conditions de décomposabilité. On interprète ces conditions en termes du complexe BGG dual modulo $p$. On montre la conjecture dans le premier cas sous certaines hypothèses grace à un théorème de comparaison de Faltings et des critères de décomposabilité pour une représentation modulo $p$ de Fontaine et Perrin-Riou.

Nous esquissons une théorie de cohomologie pour les représentations localement analytiques d'un groupe de Lie $p$-adique au sens de Schneider/Teitelbaum. Cette théorie nous permet de démontrer des versions respectives de la dualité de Pontryagin, du lemme de Shapiro et d'une suite spectrale a la Hochschild-Serre. Nous donnons la définition d'une représentation supercuspidale localement analytique et nous étudions les extensions entre des représentations de la série principale localement analytique.

To prove modularity of two-diemsnsional icosahedral Artin representations, Buzzard and Taylor observed that one could find a weight one form in $p$-adic families of modular forms, in particular, the rigid geometric framework which Coleman had developed in the 90s. One of the very technical observations they made was that an overconvegent $U_p$ eigeform extends across to the non-ordinary locus of a modular curve and thereby one can glue two overconvergent (companion) forms. Inspired by this, Kassaei subsequently reproved Coleman's result that, if its slope is small, only one overconvergent eigenform is needed to extend to the entire modular curve. I plan to present that, in fact, their techniques are applicable to the case of Hilbert modular forms over a totally real $F$, with the assumption that $p$ splits completely in $F$. If there is time, I shall briefly mention what happens when $p$ donesn't split.

We shall discuss or present recent progress in classifying some classes of irreducible unitary representations, like for example unitary duals of $\operatorname{GL}_n$ over non-archimedean division algebras (Badulescu - Renard and Secherre) and unramified unitary duals of split classical groups. We shall pay special attention to unifying moments among these classifications. Also, we shall describe isolated unitary representations among these irreducible unitary representations, and discuss where from the unitarizability of these representations can be deduced.

The aim of this talk is to gain more insight in the spectrum of irreducible smooth representations of a reductive $p$-adic group $G$. The noncommutative geometer's approach is to compute the "cohomology" of this spectrum, even though it is not Hausdorff. There are (at least) three natural candidates for this cohomology: 1) the $K$-theory of the reduced $C^\ast$-algebra of $G$, 2) the periodic cyclic homology of the Harish-Chandra-Schwartz algebra of $G$, 3) the periodic cyclic homology of the Hecke algebra of $G$. We will show that these three invariants are naturally isomorphic, and we will explain the representation-theoretic content of this result. We will also discuss the relation with the Baum-Connes conjecture.

Nous esquissons une théorie de cohomologie pour les représentations localement analytiques d'un groupe de Lie $p$-adique au sens de Schneider/Teitelbaum. Cette théorie nous permet de démontrer des versions respectives de la dualité de Pontryagin, du lemme de Shapiro et d'une suite spectrale a la Hochschild-Serre. Nous donnons la définition d'une représentation supercuspidale localement analytique et nous étudions les extensions entre des représentations de la série principale localement analytique.

Soit $\pi$ une representation automorphe cuspidale d'un groupe symplectique ou unitaire dont la composante archimedienne appartient a la serie discrete holomorphe. Je donnerai une démonstration élémentaire du fait que $L(k,\pi,\chi)\neq 0$ pour $k=1,2,\ldots$ et $\chi$ un caractère explicite naturel dans la théorie des relevés thêta.

The classical Hasse invariant is a modular form of weight $p-1$ in characteristic $p$ which has a simple zero at each supersingular point. In this talk, we will discuss how to generalize the Hasse invariant to unitary Shimura varieties with signature $(1,n-1)$ using the idea of Ekedahl-Oort stratification. We will also discuss an application to the $l$-adic cohomology of unitary Shimura varieties with bad reduction (Iwahori level structure) using integral models of Harris-Taylor-Yoshida and the weight spectral sequence of Rapoport-Zink.

Transfert local des représentations unitaires, Jacquet-Langlands global, classification du spectre résiduel et des représentations automorphes de $\operatorname{GL}_n(D)$.

Soit $E/F$ une extension cyclique de corps $p$-adiques, et $d$ son degré. L'induction automorphe (Henniart-Herb) correspond, via la correspondance de Langlands, à l'induction de $E$ à $F$ des représentations de groupes de Weil. A une représentation lisse irréductible $R$ de $\operatorname{GL}_m(E)$, on associe une représentation lisse irréductible $S$ de $\operatorname{GL}_{md}(F)$, de sorte qu'un certain caractère "tordu" de $S$ soit proportionnel à un caractère "pondéré" de "R". Nous montrons que la constante de proportionalité ne dépend pas vraiment de $R$, ce qui est indispensable, dans les travaux de Henniart et Bushnell, pour identifier la correspondance de Langlands dans le cas modéré. On en tire aussi le "lemme fondamental" pour l'induction automorphe si $p$ est plus petit que $md$ (le cas $p>md$, utilisé par Henniart-Herb, est dû Waldspurger).

Nous déduisons d'une formule due à Lusztig une expression qui calcule des induits de faisceaux caractères au voisinage des points semi-simples en termes de fonctions de Green et qui dépend seulement de la théorie des représentations de certains groupes de Weyl finis étendus. Dans le cas des groupes classiques, une formule de ce type a été obtenue par Mœglin et Waldspurger.

The Langlands program concerns automorphic representations of linear groups. It is of considerable interest to bring nonlinear groups into the program. The oscillator representation of the metaplectic group is an important example. One aspect of the program is character theory. In this talk (reporting on joint work with Rebecca Herb) I'll discuss a "lifting theory" for characters of nonlinear real groups.