Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

Schneider et Stuhler ont relié l'involution de Zelevinsky à la dualité de Verdier sur l'immeuble de Bruhat-Tits des groupes linéaires $p$-adiques. Nous montrons comment relever ce type de résultat à la cohomologie de la tour de Drinfeld. Plus précisément, nous montrons que la cohomologie de la tour de Drinfeld est autoduale sous l'involution de Zelevinsky convenablement décalée et tordue. Ce résultat est utilisé par Pascal Boyer dans ses travaux sur la cohomologie des espaces de Lubin-Tate. Nous donnons de plus une application à une conjecture de Prasad-Ramakrishnan concernant les représentations autoduales des groupes $p$-adiques.

Affine Deligne-Lusztig varieties are analogs of usual Deligne-Lusztig varieties in the context of an affine root system. They are subvarieties of affine Grassmannians or (partial) affine flag varieties, and arise naturally in the study of the reduction of Shimura varieties. Very little about their properties is known so far. In my talk, I will discuss recent results obtained jointly with Haines, Kottwiz and Reuman about basic properties such as the dimension in the case of the full flag variety.

On présentera des résultats de modularité surconvergente pour les représentations galoisiennes symplectiques de degré $4$ avec des applications aux surfaces abéliennes. On présentera ensuite des résultats de classicité pour les formes modulaires surconvergentes de genre $2$ qui permettent, sous certaines hypothèses, de remplacer la modularité surconvergente par la modularité.

La théorie de l'intersection arithmétique permet d'attacher des nombres d'auto-intersection (arithmétique) aux variétés de Shimura: les nombres d'auto-intersection des fibrés de formes modulaires, munis de leurs métriques de Petersson. On conjecture que ces nombres s'expriment en termes de dérivées logarithmiques de fonctions L d'Artin aux entiers négatifs. Le cas des courbes de Shimura (compactes) a été traité par Kudla-Rapoport-Yang et Maillot-Rossler. Le cas des courbes modulaires par Bost et Kühn. Le but de cet exposé est de relier les deux résultats par une combinaison de la correspondance de Jacquet-Langlands et de la formule de Riemann-Roch en théorie d'Arakelov. L'origine de ce travail suit une suggestion de G. Chenevier.

We consider the question that the spectrum and arithmetic of locally symmetric spaces should mutually determine each other nin the setting of automorphic forms.

Building on the works of Colmez and Berger-Breuil, we determine the locally analytic vectors of the unitary representations of $\operatorname{GL}_2(\mathbb Q_p)$ which correspond to (phi-semisimple) irreducible crystabelian representations of $G_{\mathbb Q_p}$ via the $p$-adic local Langlands correspondence of $\operatorname{GL}_2(\mathbb Q_p)$. This verifies a conjecture of Breuil.

(Travail en commun avec Gérard Laumon) Le lemme fondamental du titre est une identité combinatoire entre intégrales orbitales pondérées, indispensable à la stabilisation de la formule des traces. Il généralise le lemme fondamental de Langlands-Shelstad que Ngô Bao Châu a récemment démontré par une étude cohomologique de la partie elliptique de la fibration de Hitchin. Dans cet exposé, j'expliquerai divers ingrédients de la preuve du lemme fondamental pondéré que j'ai obtenue avec Gérard Laumon. Ceux-ci comprennent l'introduction d'une fibration de Hitchin tronquée sur la partie hyperbolique, le comptage du nombre des points des fibres tronquées en termes d'intégrales orbitales pondérées et le prolongement des théorèmes cohomologiques de Ngô à cette situation.

Les faisceaux pervers, introduits vers 1980, possèdent de nombreuses propriétés remarquables, par rapport à la dualite de Poincaré-Verdier, à la théorie des poids, et à des phénomènes de "pureté" et de "décomposition". En raison de ces propriétés, la théorie des faisceaux pervers est devenue un outil indispensable dans la théorie des représentations. La théorie des "faisceaux échelonnes" est un nouvel essai d'imiter de telles propriétés dans le cadre des fibrés vectoriels et des faisceaux cohérents. Dans cet exposé, j'expliquerai les ingrédients de leur définition et énoncerai les résultats principaux, et j'espère discuter de quelques petits exemples. La plupart de ces travaux sont communs avec D. Treumann.

Soit $F$ un corps $p$-adique. On s'intéresse à la catégorie des représentations lisses de $\operatorname{GL}_n(F)$ à coefficients dans un corps de caractéristique $p$. Il y a un lien fonctoriel naturel entre cette catégorie et celle des modules en caractéristique $p$ sur la pro-$p$-algèbre de Hecke. Les catégories en question et les propriétés du foncteur sont complètement comprises seulement pour le cas de $\operatorname{GL}_2(\mathbb Q_p)$. Dans le cas de $\operatorname{GL}_n(F)$, nous montrons comment la structure de l'algèbre de Hecke générique (présentation de Bernstein entière, isomorphisme de Satake intégral) reflète l'induction parabolique des représentations, et en tirons des informations sur certaines représentations de $\operatorname{GL}_n(F)$ obtenues par ce processus. Par ailleurs, dans l'esprit d'une correspondance de Langlands modulo $p$ du côté des modules de Hecke, nous exhibons une coïncidence numérique entre certains modules supersinguliers et certaines représentations irréductibles du groupe de Galois absolu de $F$.

Étant donnée une $\overline{\mathbb Q}_l$-représentation de Steinberg généralisée entière, on étudiera tout d'abord les sous-quotients irréductibles de sa réduction modulo $l$ au moyen de la classification "à la Zelevinski" donnée par Vignéras des $\overline{\mathbb F}_f$-représentations irréductibles ainsi que de l'involution de Zelevinski-Vignéras. On définiera ensuite un certain nombre de $\overline{\mathbb Z}_l$-réseaux stables obtenus par récurrence via l'induction parabolique.

À une courbe définie sur un corps de nombres, la théorie d'Arakelov attache un groupe abélien muni d'une forme bilinéaire, realisée comme un produit d'intersection. Cet invariant est appelé le "groupe de Chow arithmétique" de la courbe. Un invariant numérique qui en est deduit est l'auto-intersection du faisceau canonique. Nous étudions le groupe de Chow arithmétique dans le cas des courbes modulaires. En utilisant des ameliorations techniques de la théorie d'Arakelov dues à J.-B. Bost et U. Kühn, on montre que les opérateurs de Hecke agissent sur le groupe de Chow arithmétique et que l'action est autoadjointe par rapport à la forme bilinéaire. La décomposition du groupe de Chow arithmétique en composantes propres qui en est déduite permet de definir des nouveaux invariants arithmétiques, plus fins que l'auto-intersection du faisceau canonique.

Le foncteur $\Psi^{-\infty}$ des $(\varphi,\Gamma)$-modules étales vers les représentations du mirabolique de $\operatorname{GL}_1(\mathbb Q_p)$ sera généralisé aux groupes réductifs $p$-adiques déployés, ainsi que certains de ses avatars.

Le but principal de cet exposé est d'expliquer les relations entre les faisceaux pervers sur $\mathbb Q_l$, $\mathbb Z_l$ et $\mathbb F_l$. Sur $\mathbb Z_l$, on a deux $t$-structures echangées par la dualité. Pour la $t$-structure duale de la $t$-structure naturelle, certaines propriétés peuvent sembler étranges au premier abord. Nous verrons des exemples concrets. Nous nous placerons dans le contexte d'une $t$-categorie dont le coeur est muni d'une théorie de torsion et étudierons le recollement dans ce cadre. Puis on rajoutera le foncteur de réduction modulaire. Nous parlerons aussi de filtrations de stratification. Références : Beilinson Bernstein Deligne, "Faisceaux pervers" 3.3 ; Juteau, "Decomposition numbers for perverse sheaves" ; Juteau Mautner Williamson, "Perverse sheaves and modular representation theory".

In the first half of my talk I will begin with a classical theorem of Shimura on the critical values of the L-function of a holomorphic modular form. With this in the background I will then talk about Deligne's conjecture on the critical values of motivic L-functions while emphasizing the statement of this conjecture for symmetric power L-functions. In the second half of my talk I will describe some recent results of mine, partly in collaboration with Freydoon Shahidi, on the special values of Rankin-Selberg L-functions for $\operatorname{GL}_n \times \operatorname{GL}_{n−1}$. I will explain how we can use recent progress on Langlands functoriality to get results for the critical values of (odd) symmetric power L-functions. Time permitting, I hope to end my talk by sketching some work in progress, jointly with Günter Harder, on ratios of critical values.

Rappels sur $\mathbb Q_l$ : présentation des objets géométriques, des résultats faisceautiques et cohomologique, présentation et illustration des suites spectrales. Le principe est de presenter ce qui nous servira plus tard et de séparer clairement les propriétés utilisées de celles qui ne le sont pas et qui le seront dans le cas de $\mathbb Z_l$.

A locally compact abelian group $L$ is said to have symplectic self-duality if there exists an isomorphism $e \colon L \to \hat{L}$ such that $e(x)(x)=0$ for each $x$ in $L$. Is every such group isomorphic to the product of a locally compact abelian group with its Pontryagin dual? What do its maximal isotropic subgroups look like? These questions are motivated by the study of Heisenberg groups and integral transforms that arise from the Stone-von Neumann theorem. We will use a homological method of Fuchs and Hofmann to address these questions.

Un problème naturel en géométrie algébrique, initié par Mumford, est de compactifier les espaces de modules de variétés abéliennes. Faltings et Chai y ont grandement contribué en construisant des compactifications toroïdales arithmétiques aux places de bonne réduction de ces espaces. Nous généralisons leur méthode aux places de mauvaise réduction associées à des niveaux parahoriques.

Le but est de comprendre la partie nilpotente de la correspondance de Langlands locale modulo $l$ de Vignéras. Comme on ne sait pas la caractériser avec des facteurs epsilon, on voudrait en donner une réalisation géométrique, en utilisant la cohomologie des tours de Drinfeld et Lubin-Tate. Néanmoins, contrairement au cas $l$-adique, cette partie nilpotente ne semble pas être d'origine Galoisienne, puisque l'action infinitésimale de l'inertie est toujours nulle. Nous présenterons une réalisation conjecturale de cette partie nilpotente faisant intervenir un opérateur de Lefschetz naturel, ainsi que l'involution de Zelevinski. L'énoncé est formellement indépendant du corps de coefficients. On le vérifiera dans le cas $l$-adique et dans quelques (rares mais non-triviaux) cas modulaires.

(Travaux en commun avec Shaun Stevens) Pour les groupes $\operatorname{GL}_n$ sur un corps local non archimédien, toute représentation irréductible supercuspidale est générique, mais ce n'est pas le cas en général : l'exemple le plus célèbre est la représentation $\theta_{10}$ de $\operatorname{Sp}_4$ de Srinivasan. Quand le corps est de caractéristique résiduelle impaire, il se trouve que $\operatorname{Sp}_4$ a beaucoup de représentations irréductibles supercuspidales non-génériques et nous les déterminons explicitement en termes de types.

Lusztig has given a construction of certain representations of reductive groups over finite local principal ideal rings of characteristic $p$, extending the construction of Deligne and Lusztig of representations of reductive groups over finite fields. We show how to generalize Lusztig's results to reductive groups over arbitrary finite local rings via the Greenberg functor and group schemes over Artinian local rings. In particular, we obtain a cohomological construction of a class of smooth representations of certain compact $p$-adic groups.

Colmez a donné une recette permettant d'associer une représentation lisse $\Omega(W)$ du sous-groupe de Borel de $\operatorname{GL}_2(\mathbb Q_p)$ à une $\overline{F}_p$-représentation $W$ de $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb Q}_p/\mathbb Q_p)$ en utilisant la théorie des $(\varphi,Gamma)$-modules de Fontaine. Si $\operatorname{dim}(W)=2$, alors on retrouve la "correspondance de Langlands $p$-adique" de Breuil et dans cet exposé, je décrirai $\Omega(W)$ dans le cas où $\operatorname{dim}(W)$ est quelconque. C'est aussi l'occasion de s'intéresser aux représentations du Borel pour elles-même.

Le corps de base $F$ est local, non archimédien et de caractéristique nulle. Soit $G=\operatorname{SO}_d(F)$ le groupe spécial orthogonal d'un espace vectoriel $V$ sur $F$, de dimension finie $d$, muni d'une forme quadratique $q$ non dégénérée. Soit $v_0 \in V$ tel que $q(v_0)\neq 0$, notons $H=\operatorname{SO}_{d-1}(F)$ le fixateur de $v_0$ dans $G$. Soit $\pi$, resp. $\sigma$, une représentation admissible irréductible de $G$, resp. $H$. On note $m(\sigma,\pi)$ la dimension de l'espace $\operatorname{Hom}_H(\pi_{\vert H, \sigma})$. On sait que cette dimension est égale à $0$ ou $1$. On présente ici une formule intégrale qui calcule $m(\sigma,\pi)$ à l'aide des caractères de $\sigma$ et $\pi$, sous l'hypothèse que $\pi$ est supercuspidale. Soit maintenant $\Pi$, resp. $\Sigma$, un $L$-paquet de représentations tempérées de $G$, resp. $H$ (on utilise la variante due à Vogan de la notion de $L$-paquet). Une forme faible de la conjecture de Gross et Prasad prédit qu'il y a un unique couple $(\sigma,\pi) \in \Sigma \times \Pi$ tel que $m(\sigma,\pi)=1$. En admettant quelques propriétés attendues des $L$-paquets, notre formule intégrale entraîne cette assertion dans le cas où le paquet $\Sigma$ n'est composé que de supercuspidales.

Une variante de l'exposé de B. Gross, avec $U(n−1,1)$ dans $\operatorname{SO}(2n−1,2)$.

Recently, Siegel modular forms have come to play a role in counting quantum states of certain black holes in string theory. I will describe some of the physics background and various other interesting mathematical structures such as the Borcherds-Kac-Moody algebras that have made their appearance in this context.

Given a $p$-adic representation of the Galois group of a local field, we show that its Galois cohomology can be computed using the associated étale $(\varpi,\Gamma)$-module over the Robba ring; this is a variant of a result of Herr. We then establish analogues, for not necessarily étale $(\varpi,\Gamma)$-modules over the Robba ring, of the Euler-Poincaré characteristic formula and Tate local duality for $p$-adic representations.

Let $k$ be a local field, and let $K$ be a separable quadratic field extension of $k$. It is known that an irreducible complex representation $\pi_1$ of the unitary group $G_1=U_n(k)$ has a multiplicity free restriction to the subgroup $G_2=U_{n−1}(k)$ fixing a non-isotropic line in the corresponding Hermitian space over $K$. More precisely, if $\pi_2$ is an irreducible representation of $G2$, then $\pi := \pi_1\otimes \pi_2$ is an irreducible representation of the product $G := G_1 \times G_1$ which we can restrict to the subgroup $H=G_2$, diagonally embedded in $G$. The space of $H$-invariant linear forms on $\pi$ has dimension $\leq 1$. In this talk, I will use the local Langlands correspondence and some number theoretic invariants of the Langlands parameter of $\pi$ to predict when the dimension of $H$-invariant forms is equal to $1$, i.e. when the dual of $\pi_2$ occurs in the restriction of $\pi_1$. I will also illustrate this prediction with several examples, including the classical branching formula for representations of compact unitary groups. This is joint work with Wee Teck Gan and Dipendra Prasad.