Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

Nous discuterons les propretés de la théorie des cordes fermées maximalement supersymétrique considérée sur un espace-temps $\mathbb R^{1,10-d}\times T^d$ donné par le produit direct de l'espace de Minskowski $\mathbb R^{1,10-d}$ et un tore $T^d$ où $0 \leq d \leq 8$. Cette théorie est invariante sous $E_d(Z) \backslash E_d / K_d$, où $E_d$ est la forme réelle déployée du groupe de Lie semi-simple de rang $1 \leq d \leq 8$, $K_d$ est le sous-groupe compact maximal. Les interactions sont données par des formes automorphes invariantes sous $E_d(Z)$. Ce sous-groupe discret est défini par la règle de quantification de Dirac. Nous expliquerons que cette définition correspond à celle donnée par Chevalley. Nous expliquerons que le régime perturbatif, la limite de couplage fort (la théorie M), et la limite de décompactification correspondent à trois sous-groupes parabolique maximaux particuliers. Nous présenterons les formes automorphes d'amplitudes associées au comptage d'états de trous noirs supersymétriques. En évaluant leur terme constant par rapport au sous-groupe parabolique maximal associé au régime perturbatif de la théorie des cordes, nous déduisons des relations entre des séries d'Eisenstein et des intégrales de fonctions $\theta$ sur l'espace des modules des surfaces de genre $g$. L'évaluation par rapport au sous-groupe parabolique associé à la limite de décompactification permet de déduire les formes automorphes pour les rangs $d \leq 7$ de celle pour $E_8$. De cette construction nous déduisons des propriétés d'analyticité de combinaisons linéaires particulières de certaines formes automorphes.

Le but de cet exposé est de montrer comment la théorie des $\mathcal D$-modules permet d'étudier les distributions invariantes sous l'action d'un groupe de Lie. On présentera deux articles "Multiplicity one theorem for $(\operatorname{GL}_n(\mathbb R),\operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb R))$" de A. Aizenbud et D. Gourevitch et "Kirillov's conjecture and $\mathcal D$-modules" de E. Galina et Y. Laurent. Ils aboutissent à des résultats semblables par des méthodes différentes. Tandis que le premier utilise de l'analyse (transformation de Fourier) et la propriété d'involutivité de la variété caractéristique d'un $\mathcal D$-module, le second est purement algébrique et utilise la $b$-fonction.

Les variétés de Griffiths-Schmid sont des variétés analogues aux variétés de Shimura. Elles ont l'avantage, sur ces dernières, de faire intervenir dans leur cohomologie des limites dégénérées de séries discrètes. Cependant, elles ne sont pas algébriques. Dans cet exposé, on s'intéresse au cas du groupe $\operatorname{SU}(2,2)$. On y présente certains résultats obtenus dans l'optique de traiter, à terme, le problème de non algébricité de ces variétés, généralisant ainsi certains travaux de Carayol.

Le groupe métaplectique de Weil est un revêtement non algébrique du groupe symplectique sur un corps local. Dans cet exposé, on établira un formalisme de l'endoscopie pour ce groupe. En particulier, on présentera une variante de la conjecture de Langlands-Shelstad dans ce cadre. La preuve est basée sur la méthode de descente et l'endoscopie non standard pour les algèbres de Lie, due à Waldspurger. Cela généralise les travaux d'Adams et Renard dans le cas sur les réels.

The Andre-Oort conjecture for pure Shimura varieties is proved under the GRH. Using some tools from ergodic theory, we provide a result of equidistritions of special subvarieties in some Kuga varieties, aimed to generalize the current strategy of Clozel, Edixhoven, Klingelr, Ullmo and Yafaev for the study of the Andre-Oort conjecture for mixed Shimura varieties.

Ngô a obtenu une démonstration du lemme fondamental de Langlands-Shelstad par une étude cohomologique de la partie elliptique de la fibration de Hitchin. Dans cet exposé, on introduira la variante tronquée de la fibration de Hitchin qui nous a permis d'étendre au cas du lemme fondamental pondéré d'Arthur la preuve de Ngô. (Travail commun avec Gérard Laumon)

We define a power series expansion of an holomorphic modular form $f$ in the $p$-adic neighborhood of a CM point $x$ of type $K$ for a split good prime $p$. The modularity group can be either a classical conguence group or a group of norm $1$ elements in an order of an indefinite quaternion algebra. The expansion coefficients are shown to be closely related to the classical Maass operators and give $p$-adic information on the ring of definition of $f$. By letting the CM point $x$ vary in its Galois orbit, the $r$-th coefficients define a $p$-adic $K^\ast$-modular form in the sense of Hida. By coupling this form with the $p$-adic avatars of algebraic Hecke characters belonging to a suitable family and using a Rankin-Selberg type formula due to Harris and Kudla along with some explicit computations of Watson and of Prasanna, we obtain in the even weight case a $p$-adic measure whose moments are essentially the square roots of a family of twisted special values of the automorphic L-function associated with the base change of $f$ to $K$.

Un espace de Banach-Colmez est un espace de Banach $p$-adique, muni d'une algèbre de fonctions analytiques, et qui s'obtient par extensions et quotients successifs à partir de $\mathbb C_p$ et $\mathbb Q_p$. Cette catégorie est abélienne et munie de fonctions additives "dimension" et "hauteur" à valeurs respectivement dans $\mathbb N$ et $\mathbb Z$. Elle contient de façon naturelle des objets associés aux $\varphi$-modules, ce qui permet de redémontrer le théorème "faiblement admissible implique admissible" de (Colmez-Fontaine, 2000). De plus, on peut munir une sous-catégorie pleine d'une structure analogue à celle des fibrés vectoriels sur une courbe projective lisse ; ceci permet de définir sur ces objets une filtration canonique décroissante, indexée par les rationnels positifs, et dont les gradués s'obtiennent à partir de $\varphi$-modules admissibles.

Faltings a récemment introduit une correspondance de Simpson pour les représentations $p$-adiques du groupe fondamental géométrique d'une variété lisse sur un corps $p$-adique (sous certaines hypothèses). Dans un travail en cours (en commun avec Michel Gros), nous nous sommes intéressés à comprendre ce que donne sa construction lorsque l'on part de la cohomologie étale $p$-adique relative d'un morphisme propre et lisse. Le cas complexe suggère que le fibré de Higgs associé est la cohomologie de Hodge munie du morphisme de Kodaira Spencer. Nous montrons que c'est aussi le cas en $p$-adique. Plus généralement, nous montrons que le complexe de Dolbeault du fibré de Higgs associé à un système local de Hodge-Tate est le complexe défini par Hyodo. Pour ce faire, nous introduisons une nouvelle approche pour la correspondance de Simpson $p$-adique qui complète celle de Faltings et présente un intérêt indépendant.

Étant donné un corps valué complet de caractéristique positive, on construit une "courbe" sur $\mathbb Q_p$ et on classifie les fibrés vectoriels sur celle-ci. À certains objets de théorie de Hodge $p$-adique on associe des fibrés Galois équivariants sur cette courbe. Comme cas particulier de la classification des fibrés sur cette courbe on réobtient les deux théorèmes principaux de la théorie de Hodge $p$-adique: faiblement admissible implique admissible et de Rham implique potentiellement semi-stable. Il s'agit d'un travail en commun avec Jean-Marc Fontaine.

Comme dans le cas classique dû à Arthur-Selberg, notre formule des traces est une égalité entre deux termes l'un dit spectral l'autre géométrique. Dans notre cas, ces derniers sont des formes linéaires $p$-adiques sur l'idéal des opérateurs de Hecke complètement continus. Dans cet exposé, nous expliquerons la définition de ces termes et nous esquisserons la preuve de cette formule.

Les chtoucas locaux sont une version locale des chtoucas introduits par Drinfeld. Nous leur associons des cristaux et ceux-ci sont munis d'une filtration de Hodge. Nous montrons un résultat analogue au théorème "faiblement admissible implique admissible" de Colmez et Fontaine par une méthode qui n'utilise pas de clôture algébrique du corps local et qui donne aussi des résultats en théorie entière. Notre article se trouve à l'adresse http://www.math.jussieu.fr/∼vlafforg/fontaine.pdf

We will discuss the weight part of Serre's conjecture for irreducible two-dimensional $\bmod p$ representations of the absolute Galois group of $F$, where $F$ is a totally real field that is totally ramified at $p$, and where the representation is tamely ramified at locally at $p$. In most cases we determine the precise list of possible weights, as conjectured by M. Schein. This is joint work with Toby Gee.

J'exposerai la première partie de l'article de H. Jacquet et S. Rallis intitulé "On the Gross-Prasad conjecture for unitary groups".

We extend the work of Clozel-Harris-Labesse to obtain additional cases of endoscopic transfer on the definite unitary group. These allow us to in a sense lift some of the results of Ramakrishnan and Kim-Shahidi on the automorphic tensor product on $\operatorname{GL}_2 \times \operatorname{GL}_2$ and $\operatorname{GL}_2 \times \operatorname{GL}_3$ to the definite unitary group. We then apply the work of Chenevier to obtain rigid analytic morphisms between eigenvarieties associated to the corresponding cases of overconvergent Langlands functoriality.

Dans un article en commun avec T. Barnet-Lamb, D. Geraghty, et R. Taylor, nous démontrons la Conjecture de Sato-Tate pour les formes modulaires elliptiques (non de type CM) de poids quelconque. La méthode est basée sur les résultats récemment obtenus dans le cadre de la stabilisation de la formule des traces, en particulier ceux qui vont paraître dans le projet de livres de Paris, ainsi que des raffinements techniques des théorèmes de modularité (de Geraghty et Guerberoff), et de modularité potentielle (de Barnet-Lamb), et quelques nouvelles astuces.

Soient $F$ un corps local non archimédien de caractéristique $0$ et $d$, $d'$ deux entiers naturels de parités distinctes. Posons $G=\operatorname{GL_d}$ et $G'=\operatorname{GL_{d'}}$. Soient $\pi$ et $\pi'$ des représentations admissibles irréductibles de $G(F)$ et $G'(F)$. Fixons un caractère $\Psi$ de $F$ continu et non trivial. On définit le facteur $\varepsilon(s,\pi \times \pi', \Psi)$ pour $s \in \mathbb C$. Supposons $\pi$ et $\pi'$ autoduales. On peut les prolonger en des représentations $\tilde{\pi}$ et $\tilde{\pi}'$ des produits semi-directs $G(F)\rtimes\{1,\theta_d\}$ et $G'(F)\rtimes\{1,\theta_{d'}\}$, où $\theta_d$ et $\theta_{d'}$ sont des automorphismes extérieurs de $G$ et $G'$. Supposons de plus $\pi$ et $\pi'$ tempérées. On prouve que $\varepsilon(s,\pi \times \pi', \Psi)$ se calcule par une formule intégrale où interviennent les caractères de $\tilde{\pi}$ et $\tilde{\pi}'$′. Cette formule est reliée à la conjecture locale de Gross-Prasad ; on essaiera d'expliquer pourquoi.

L'exposé sera consacré à un théorème de modularité généralisant ceux de Clozel-Harris-Taylor et Taylor, rendu possible par les résultats de Labesse à propos du changement de base et descente entre représentations automorphes de $\operatorname{GL}_n$ et de groupes unitaires définis.

Soient $F$ un corps local non archimédien de caractéristique $0$ et $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur $F$, muni d'une forme quadratique non dégénérée. Fixons une décomposition orthogonale V=V′⊕Z. On suppose que les dimensions de V et V′ sont de parités distinctes et que le groupe spécial orthogonal de Z est déployé sur F. Notons $G$ et $G'$ les groupes spéciaux orthogonaux de $V$ et $V'$. Soient $\sigma$ et $\sigma'$ des représentations admissibles irréductibles de $G(F)$ et $G'(F)$. On peut définir une multiplicité $m(\sigma,\sigma')$ qui vaut $0$ ou $1$ et qui est l'objet de la conjecture locale de Gross-Prasad. Supposons $\sigma$ et $\sigma'$ tempérées. On prouve que $m(\sigma,\sigma')$ se calcule par une formule intégrale où interviennent les caractères de $\sigma$ et $\sigma'$.

Soit $F$ un corps $p$-adique, $n$ un entier $\geq 1$, $H$ le groupe $\operatorname{GL}_{n+1}(F)$, $G$ son sous-groupe $\operatorname{GL}_{n}(F)$. Si $V$ est une représentation lisse irréductible de $H$, $W$ une représentation lisse irréductible de $G$, alors l'espace des entrelacements de $V$ restreint à $G$ vers $W$ est nul ou de dimension $1$. On a un résultat analogue quand $H$ est un groupe unitaire ou orthogonal, et $G$ le fixateur d'un vecteur non isotrope.

If two discrete series representations are theta lifts of each other, how are their formal degrees related? We address this question in this talk, obtaining a precise relation in the equal rank case and a relation up to a universal constant in general. This is joint work with Atsushi Ichino.

Ces conjectures décrivent les lois de branchement pour certaines paires de groupes classiques, telles que $\operatorname{SO}(W)\subset \operatorname{SO}(V)$ avec $W\subset V$ de codimension $1$.

Given a reductive group over a number field, it is natural to ask whether there exist automorphic representations of some prescribed type at each local place. If the prescribed types are discrete series then this is proved by Clozel. I consider the $L$-packet analogue of this question and give a partial answer, using Kazhdan's simple trace formula argument.