Juillet 2011

04 juillet Syu Kato (Kyoto University)
Discrete series of affine Hecke algebras of classical types via exotic Deligne-Langlands correspondence
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Exotic Deligne-Langlands correspondence (eDL for short) is a geometric variant of the Deligne-Langlands-Lusztig conjecture (Kazhdan-Lusztig theorem) of affine Hecke algebras of classical groups, which replace its Galois side with more uncommon data. As a model of whole representations, eDL provides much wider scope and simpler description than the original. However, subtle information like being discrete series becomes non-obvious in eDL. Even so, one can deduce precise information like character-computation algorithm of discrete series from eDL, in a way enough to determine formal degree constant. After a brief introduction to eDL, I will explain how to see such information. This talk is based on joint works with Dan Ciubotaru.

Juin 2011

20 juin Ana Caraiani (Harvard University)
Local-global compatibility and monodromy
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Given a cuspidal automorphic representation of $\operatorname{GL}_n$ over a CM field which is regular algebraic and conjugate self-dual, one can associate to it a Galois representation. This Galois representation is known in most cases to be compatible with local Langlands. When $n$ is even, the compatibility is known up to semisimplification or when the representation satisfies an additional regularity condition. I will extend the compatibility to Frobenius semisimplification by identifying the monodromy operators on either side.
06 juin Hiroyuki Yoshida (Kyoto University)
Cohomology and L-values
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n a paper published in 1959, Shimura presented an elegant calculation of the critical values of L-functions attached to elliptic modular forms using the first cohomology group. I will show that a similar calculation is possible for Hilbert modular forms over real quadratic fields using the second cohomology group. Explicit numerical examples calculated by this method will be presented. I will also show that we can deduce some information on periods which are not related to critical values by this method.

Mai 2011

30 mai Anantharam Raghuram (Oklahoma State University)
Special values of automorphic L-functions for $\operatorname{GL}_{2n}$
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I will begin my talk with Shimura's theorem on the critical values of the standard L-function attached to a holomorphic Hilbert modular form. Then, I will recast Shimura's theorem into a more representation-theoretic context by talking about the critical values of L-functions attached to cohomological cuspidal automorphic representations for $\operatorname{GL}_2$ over a totally real number field $F$. With this as the back-drop I will present results of some joint work with Harald Grobner concerning the critical values of L-functions attached to cohomological cuspidal automorphic representations of $\operatorname{GL}_{2n}$ over F which admit Shalika models. Putting $n=1$ retrieves Shimura's theorem. I will also mention applications to symmetric cube L-function of a Hilbert modular form, and the degree four L-function of a Siegel modular form. The latter part of my talk will be more technical and I will (i) show how to define certain periods by comparing rational structures on Shalika models and cohomological models; (ii) analyze the behaviour of periods upon twisting the representation by characters; (iii) sketch a proof of why these periods appear in the critical values of standard L-functions for $\operatorname{GL}_{2n}$.
23 mai Jochen Heinloth (Universiteit van Amsterdam)
Moduli spaces of bundles and Kloosterman sums
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Unlike in the classical theory of modular forms, there are very few explicit examples of modular forms known in the setup of the geometric Langlands correspondence (which we will recall). In joint work with B.C. Ngô and Z. Yun which was motivated by work of Gross and Frenkel - we found an explicit series of such forms which on the one hand give an example of the (wild) geometric Langlands correspondence and on the other hand turn out to be closely related to classical Kloosterman sums.
16 mai Florian Herzig (Institute for Avanced Studies Princeton)
Weights in a Serre-type conjecture for $U_3$
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We consider a generalisation of Serre's conjecture for irreducible, conjugate self-dual Galois representations $\rho \colon G_F \to \operatorname{GL}_3( \overline{\mathbb F}_p)$, where $F$ is a CM field in which $p$ splits completely. We previously gave a conjecture for the possible Serre weights of $\rho$. If $\rho$ is locally irreducible at $p$ and modular of a (very) generic Serre weight, we show that the set of generic Serre weights of $\rho$ coincides precisely with the conjectural set. This is joint work with Matthew Emerton and Toby Gee.
09 mai Colin Bushnell (Londre)
To an effective local Langlands correspondence (joint work with Guy Henniart)
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$F$ is a non-Archimedean local field and $n$ a positive integer. Let $\sigma$ be an irreducible, $n$-dimensional representation of the Weil group of $F$. Using an explicit method, we attach to $\sigma$ an irreducible cuspidal representation $N(\sigma)$ of $\operatorname{GL}_n(F)$. The main result compares $N(\sigma)$ with the representation $L(\sigma)$ attached to $\sigma$ by the Langlands correspondence. The difference between $N(\sigma)$ and $L(\sigma)$ is, in a certain sense, uniform. This reveals some interesting arithmetic properties of the Langlands correspondence.
02 mai Benoît Stroh (Université Paris 13)
Classicité et surconvergence
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Un célèbre critère dû à Coleman permet de caractériser les formes modulaires classiques parmi les formes modulaires surconvergentes. Nous expliquerons comment généraliser ce critère aux variétés de Shimura associées à des groupes unitaires ou symplectiques déployés en le nombre premier considéré. En collaboration avec Vincent Pilloni.

Mars 2011

31 mars Michael Rapoport (Universität Bonn)
Sur le lemme fondamental arithmetique de Wei Zhang
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Le lemme fondamental de Jacquet-Rallis, récemment démontré par Yun et Gordon, relie des intégrales orbitales sur un groupe unitaire avec des integrales orbitales sur un espace symétrique correspondant. Wei Zhang a introduit les dérivées en $s=0$ de ces dernières, et a énoncé une conjecture (LFA), qui relie celles-ci avec des nombres d'intersection de cycles arithmétiques sur des espaces de modules formels de certains groupes formels. Je vais expliquer la conjecture et parler des résultats récents (modestes) dans cette direction (travail en commun avec Wei Zhang).
24 mars Matthew Morrow (University of Chicago)
Duality of arithmetic surfaces
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The ring of adeles of a number field is self-dual, offering an arithmetic analogue of Serre duality. I will explain a similar theory for arithmetic surfaces, based on the higher adeles introduced by A. Parshin and A. Beilinson.
17 mars Stefano Morra (Université de Versailles)
La structure des représentations irréductibles modulo $p$ pour $\operatorname{GL}_2(\mathbb Q_p)$
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On démontre l'existence d'une filtration naturelle $\operatorname{GL}_2(\mathbb Z_p)$-équivariante sur les représentations irréductibles modulo $p$ pour $\operatorname{GL}_2(\mathbb Q_p)$, ce qui permet de donner une description fine de ces objets. On en déduit leur filtration par le $\operatorname{GL}_2(\mathbb Z_p)$-socle, leurs espaces des invariants sous plusieurs sous-groupes de congruence, ainsi que leurs restrictions aux sous-groupes de Cartan. D'après la compatibilité locale-globale cela permet d'obtenir la dimension de certains sous-espaces isotypiques de la cohomologie modulo $p$ de plusieurs courbes modulaires.
10 mars Gabriel Dospinescu (École Polytechnique)
Vecteurs localement algébriques dans la correspondance de Langlands locale $p$-adique
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On expliquera une nouvelle preuve d'un théorème de Colmez, qui donne une caractérisation "$p$-adique automorphe" des représentations galoisiennes $p$-adiques de dimension $2$, potentiellement semi-stables. Si le temps le permet, on expliquera aussi pourquoi notre méthode devrait démontrer une conjecture de Paskunas, généralisation du théorème de Colmez.
03 mars Go Yamashita (Toyota Central R and D Labs Inc.)
The automorphy lifting and integral $p$-adic Hodge theory
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We explicitely construct an analytic family of $n$-dimensional crystalline representations by using Wach modules. This is a generalization of the result by Berger, Li and Zhu. We show that a universal deformation ring related with the above constructions is connected, by Kisin's method. This yeilds automorphy lifting theorem and potential automorphy theorem, in which the condition at $p$ is weakened. This is a joint work with S. Yasuda (RIMS, Kyoto) based on speaker's previous work.

Février 2011

24 février Peter Schneider (Universität Münster)
On the alternating square of a Lie algebra
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The Lie bracket of a Lie algebra $L$ induces a linear map $L\wedge L \to L$. When can the kernel of this map be generated by vectors of the form $x \wedge y$ with $[x,y]=0$? This seemingly elementary question does not seem to be tractable by elementary methods. For semisimple Lie algebras over the complex numbers Kostant has given a positive answer by means of representation theory. I will explain why a number theorist is interested in this question over fields of positive characteristics. I will sketch a solution for the Chevalley form of any split semisimple Lie algebra (joint work with O. Venjakob).
10 février Yakov Varshavsky (Hebrew University of Jerusalem)
On the transfer of Deligne-Lusztig functions (joint with David Kazhdan)
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The transfer conjecture of Langlands-Shelstad (which is now a theorem due to Ngo and Waldspurger) asserts that for every function $f$ on a $p$-adic group $G$ there is a function $f^H$ on its endoscopic group $H$ which have "matching orbital integrals". In my talk I will explain how to construct function $f^H$ in the case when $f$ is an inflation of the character of Deligne-Lusztig representation. In the case when $G$ is split adjoint and the representation is unipotent we recover the conjecture of Kottwitz.
03 février Gaëtan Chenevier (École Polytechnique)
L'alternative symplectique-orthogonale pour les representations galoisiennes automorphes autoduales ou de type unitaire
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Soient $F$ un corps totalement réel (resp. CM) et $\Pi$ une représentation automorphe cuspidale cohomologique de $\operatorname{GL}_n$ sur $F$ supposée autoduale (resp. "auto-duale-conjuguée"). Nous déterminerons l'alternative symplectique-orthogonale pour les représentations galoisiennes associées a $\Pi$. Il s'agit d'un travail en commun avec Joël Bellaïche.

Janvier 2011

27 janvier Benjamin Schraen (Université de Versailles)
Composantes de Jordan-Hölder des représentations de Steinberg localement analytiques
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(Travail en commun avec Sascha Orlik) Pour $F$ une extension finie de $\mathbb Q_p$ et $G$ un groupe réductif déployé défini sur $F$, nous identifions les composantes de Jordan-Hölder, ainsi que leurs multiplicités, de la représentation localement analytique de Steinberg de $G$.
20 janvier Jean-François Dat (Institut Mathématiques de Jussieu)
Théorie de Lubin-Tate non-abélienne $\ell$-entière
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Soient $p$ et $\ell$ deux nombres premiers distincts et $K$ un corps $p$-adique. On décrira explicitement la partie "$\ell$-supercuspidale" de la $\mathbb Z_\ell$-cohomologie des tours de Lubin-Tate de $K$, en montrant en particulier comment elle réalise une correspondance de Langlands entre représentations $\bmod \ell$ (fournissant une nouvelle preuve du théorème de Vignéras) ainsi qu'une correspondance entre déformations de représentations $\bmod \ell$.
13 janvier Peter Scholze (Universität Bonn)
A new approach to the Local Langlands Correspondence for $\operatorname{GL}_n$ over $p$-adic fields
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We give a new local characterization of the Local Langlands Correspondence, using deformation spaces of $p$-divisible groups, and show its existence by a comparison with the cohomology of some Shimura varieties. This reproves results of Harris-Taylor on the compatibility of local and global correspondences, but completely avoids the use of Igusa varieties and instead relies on the classical method of counting points a la Langlands and Kottwitz. Further, we have a new proof of bijectivity of this correspondence, relying on a description of the inertia-invariant nearby cycles in certain situations.
06 janvier P.-H. Chaudouard, G. Henniart et J.-L. Waldspurger (Université Paris Sud et Institut Mathématiques de Jussieu)
Séance du groupe de travail "Stabilisation de la formule des traces tordue"
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Exposé de G. Henniart : "Le lemme fondamental implique le lemme fondamental I : préliminaires". On se place dans le cadre de l'endoscopie tordue, où l'on tord à la fois par un automorphisme et un caractère. Il s'agit d'étendre le lemme fondamental du cas des unités des algèbres de Hecke au cas général. Si l'on ne tord que par un caractère, le résultat est dû à Hales (1994) qui reprenait la méthode de Clozel pour le changement de base. Pour étendre cette méthode au cas général, des préliminaires sont nécessaires : Théorème de densité à la Kazhdan, Conjecture de Howe, preuve que les intégrales orbitales tordues sont des distributions tempérées, etc. L'exposé portera sur le théorème de densité. Exposé de J.-L. Waldspurger : "Stabilisation de la partie spectrale de la formule des traces tordue, suite et fin".

Décembre 2010

16 décembre Michael Harris (Institut Mathématiques de Jussieu)
Valeurs centrales de fonctions L des groupes unitaires (travail en commun avec J.S. Li et B.Y. Sun)
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En utilisant l'expression de la valeur centrale d'une fonction L d'une représentation automorphe cuspidale d'un groupe unitaire $G$ en termes de la correspondance thêta, on montre que cette valeur n'est jamais négative, au moins si les composantes archimédiennes appartiennent à la série discrète. Ce résultat se déduit aussi par fonctorialité des résultats de Lapid et Rallis sur les fonctions L des groupes $\operatorname{SO}_{2n+1}$. La même méthode donne des expressions conjecturales pour la relation entre deux structures rationnelles sur les formes automorphes cohomologiques sur $G$, une qui provient de la cohomologie cohérente, l'autre de la correspondance thêta.
09 décembre Jean-Loup Waldspurger (Institut Mathématiques de Jussieu)
Énoncé de la partie spectrale de la formule des traces stable
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Séance du groupe de travail "Stabilisation de la formule des traces tordue".
02 décembre Anne-Marie Aubert (Institut Mathématiques de Jussieu)
Structure géométrique en théorie des représentations des groupes réductifs $p$-adiques : avancées récentes
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Nous décrirons un modèle des paramètres de Kazhdan-Lusztig en terme de quotient étendu. Ce modèle est lié à une conjecture enoncée avec Paul Baum et Roger Plymen (voir par exemple [ABP]) pour les représentations des groupes $p$-adiques. Maarten Solleveld a récemment énoncé et démontré une version de la conjecture dans le cas des représentations des algèbres de Hecke affines étendues, conduisant à une preuve de notre conjecture dans un grand nombre de cas. Nous expliquerons le résultat de Solleveld. Références: [ABP] A.-M. Aubert, P. Baum et R. Plymen, Geometric structure in the representaton theory of $p$-adic groups, II, (disponible à http://eprints.ma.man.ac.uk/1504), 2010, Proceedings Symposia in Pure Math. Amer. Math. Soc. (à paraître). [ABP2] A.-M. Aubert, P. Baum et R. Plymen, Kazhdan-Lusztig parameters and extended quotients, en prépration. [S] M. Solleveld, On the classification of irreducible representations of affine Hecke algebras with unequal parameters, Arxiv preprint arXiv:1008.0177, 2010.

Novembre 2010

25 novembre C. Mœglin et J.-L. Waldspurger (Institut Mathématiques de Jussieu)
Séance du groupe de travail "Stabilisation de la formule des traces tordue"
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Dans le second exposé, on reprend le chapitre 8 du texte d'Arthur, "A stable trace formula I. general expansions", que l'on adapte au cadre des espaces tordus.
18 novembre Báo Châu NgÔ (Université de Chicago)
Une nouvelle approche pour la fonctorialité
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L'exposé portera sur un article récent écrit en collaboration avec Frenkel et Langlands.
04 novembre Francesco Lemma (Institut Mathématiques de Jussieu)
Régulateurs supérieurs, périodes et valeurs spéciales de la fonction L de degré $4$ de $\operatorname{GSp}_4$
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Généralisant la formule analytique du nombre de classes de Dedekind et Dirichlet, une conjecture de Beilinson relie les valeurs (dites non critiques) de la fonction L d'un motif à l'existence de certaines $1$-extensions de structures de Hodge mixtes dans l'image du régulateur. Nous proposerons une approche de la conjecture pour la fonction L de degré $4$ d'une représentation automorphe cuspidale de $\operatorname{GSp}_4$.

Octobre 2010

28 octobre C. Mœglin et J.-L. Waldspurger (Institut Mathématiques de Jussieu)
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Séance du groupe de travail "stabilisation de la formule des traces tordue". Dans le second exposé, on reprend le chapitre 8 du texte d'Arthur, "A stable trace formula I. general expansions", que l'on adapte au cadre des espaces tordus.
21 octobre Jean-Loup Waldspurger (Institut Mathématiques de Jussieu)
Présentation de l'endoscopie tordue
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Séance du groupe de travail "Stabilisation de la formule des traces tordue".
14 octobre Pierre-Henri Chaudouard (Université Paris-Sud)
Aspect géométrique du lemme fondamental de Jacquet-Rallis (d'après Z. Yun)
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On présentera la variante de la fibration de Hitchin que Zhiwei Yun introduit pour démontrer une identité d'intégrales orbitales formulée par Jacquet-Rallis dans un contexte de formule des traces relatives.
07 octobre L. Clozel et J.-P. Labesse (Université Paris-Sud et Université Aix-Marseille II)
La formule des traces tordue
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Séance du groupe de travail "Stabilisation de la formule des traces tordue".

Septembre 2010

30 septembre Vincent Sécherre (Université de Versailles)
Représentations modulo $\ell$ des formes intérieures de $\operatorname{GL}_n$ sur un corps $p$-adique ($\ell \neq p$)
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(Travail en collaboration avec Alberto Minguez.) Soient $F$ un corps $p$-adique et $R$ un corps algébriquement clos de caractéristique différente de $p$. Nous donnons une classification des $R$-représentations lisses irréductibles d'une forme intérieure de $\operatorname{GL}_n(F)$ en termes de multisegments, c'est-à-dire en fonction de leur support supercuspidal. Dans le cas particulier où R est de caractéristique nulle, nous retrouvons la classification de Tadić, mais sans avoir recours à des méthodes globales.