Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

In recent joint work with Nicolas Templier on the Sato-Tate theorem for families of automorphic representations, a crucial ingredient was a uniform bound on orbital integrals. I will explain the theorem and indicate how this question arises in the proof. If time permits, I will also give a non-expert overview of the solution via motivic integration theory by Cluckers-Gordon-Halupczok.

Kudla and Rallis inititaed the subject of the regularized Siegel-Weil formula for its application to the Rallis inner product formula. The purpose of the regularized Siegel-Weil formula is to relate a regularized theta integral to a Siegel-Eisenstein series. For symplectic groups, they proved an identity (called the first term identity) between the leading terms of the Laurent expansion of the two sides, and this was subsequently extended to other classical groups by others. Such a first term identtiy is sufficient for the Rallis inner product formula in certain situations. In this talk, we discussed joint work with Yannan Qiu and Shuichiro Takeda in which we proved the general second term identity which relates the next terms in the Laurent expansion. This second term identity is necessary to establish the Rallis inner product formula in the remaining situations.

In a forthcoming paper, Gross, Reeder, and Yu study a certain class of supercuspidal representations of general tamely-ramified $p$-adic groups, which exhibit minimal wild ramification. These so called epipelagic representations are closely related to Vinberg's invariant theory of graded Lie-algebras. In this talk we will report on work in progress to construct the $L$-packets corresponding to these representations and to prove their stability and endoscopic transfer. While the construction has common features with earlier constructions of tamely-ramified $L$-packets, some new phenomena occur. Most notably, the arithmetic information encoded in the Langlands parameter enters into the construction and leads to objects similar to the rectifying characters in the work of Bushnell and Henniart.

The lattice model of the Weil representation over non-archimedean local field of odd residual characteristic has been known for decades, and is used to prove the Howe duality conjecture for unramified dual pairs when the residue characteristic is odd. In this talk, we will talk on how to modify the lattice model of the Weil representation so that it is defined independently of the residue characteristic. Although to define the lattice model alone is not enough to prove the Howe duality conjecture for even residual characteristic, we will propose a couple of conjectural lemmas which imply the Howe duality conjecture for unramified dual pairs independently of the residue characteristic. Also those two lemmas can be proven for certain cases, which allow us to prove (a version of) the Howe duality conjecture for the even-orthogonal-symplectic dual pair of equal rank for a certain class of representations, independently of the residue characteristic.

Soit $E/F$ une extension quadratique de corps locaux non archimédiens de caractéristique $0$, $G=U(n)$ et $H=U(m)$ les groupes unitaires de deux espaces hermitiens $V$ et $W$. Dans certains cas de compatibilités entre $V$ et $W$, Gan, Gross et Prasad définissent une multiplicité $m(\pi,\sigma)$ pour toutes représentations tempérées et irréductibles $\pi$ de $G(F)$ et $\sigma$ de $H(F)$. Cette multiplicité est toujours au plus $1$ (Aizenbud-Gourevitch-Rallis-**Schiffmann). La conjecture de Gan-Gross-Prasad dont je parlerai dit que cette multiplicité est non nulle exactement une fois par $L$-paquet (dans un sens à précisé). J'expliquerai comment suivant des méthodes dues à Waldspurger, on peut démontrer cette conjecture (modulo des hypothèses sur les $L$-paquets tempérés). La preuve passe par une formule intégrale pour la multiplicité qui elle est non conditionnelle.

J'expliquerai comment les travaux récents d'Arthur et une propriété "d'irréductibilité générique" pour les représentations galoisiennes sur ces variétés de Hecke permettent de généraliser un résultat de Taylor décrivant l'image des conjugaisons complexes par les représentations galoisiennes attachées aux représentations automorphes cuspidales, algébriques, régulières et autoduales du groupe linéaire sur un corps de nombres totalement réel.

Nous faisons une étude des fonctions-L automorphes pour les produits des représentations cuspidales automorphes globalement génériques des groupes classiques deployés et des groupes généraux linéaires à la Langlands-Shahidi en caractéristique $p$. Guié par le travail en charactéristique zéro de Cogdell, Kim, Piatetski-Shapiro et Shahidi, nous obténons un transfert fonctoriel de Langlands des répresentations cuspidales globalement génériques d'un groupe classique à une réprésentation automorphe d'un groupe général linéaire correspondant. C'est possible d'écrire l'image du transfert comme somme isobare des représentations cuspidales, qui on peut préciser en caracteristique $p \neq 2$. Grâce au travail de Lafforgue sur la conjecture globale de Langlands pour $\operatorname{GL}_n$ sur un corps des fonctions, nous pouvons prouver la conjecture de Ramanujan pour les groupes classiques déployés.

Soient $F$ un corps de nombre totalement réel et $p \geq 3$ un premier. Dans cet exposé, nous allons énoncer une conjecture de multiplicité $1$ pour certaines représentations galoisiennes résiduelles modulo $p$ sur $F$. Cette conjecture apparaît naturellement dans le cadre de la correspondance de Langlands $\bmod p$ pour $\operatorname{GL}_2/F$. Nous donnerons plusieurs exemples qui soutiennent la conjecture.

We report on some Hodge theoretic criteria characterizing special subvarieties of Shimura varieties, and a weak form of the André-Oort Problem, characterizing special subvarieties which contain sufficiently many special subvarieties of dimension at least one. It turns out that already in the case of curves on surfaces the non-smoothness of Hecke translates plays an interesting role, and is related to other open conjectures in Algebraic geometry.

The study of $p$-adic representations of $p$-adic groups is a contemporary theme in arithmetic geometry. In this talk I will describe a functor that relates certain categories of locally analytic representations of a $p$-adic split reductive group to certain sheaves on the Bruhat-Tits building. This extends work of Schneider-Stuhler in the smooth case and is also compatible, in a way, with the localization of Lie algebra representations on the flag variety in the sense of Beilinson-Bernstein. This is work in progress with D. Patel and M. Strauch.

Motivés par l'étude du spectre tempéré de $\operatorname{SO}_{2n}$ sur un corps $p$-adique, Goldberg et Shahidi définissent un accouplement entre les coefficients matriciels d'une représentation cuspidale de $\operatorname{SO}_{2n}$ et ceux de $\operatorname{GL}_{2n}$ tordu. Ils conjecturent que l'annulation de cet accouplement doive être reliée au transfert endoscopique tordu. Le cas $n=1$ est vérifié par Shahidi et Spallone en utilisant l'endoscopie pour $\operatorname{SL}_2$ et des calculs explicites. Dans cet exposé, j'expliquerai comment le cas général se ramène à un exercice amusant en l'endoscopie tordue, à l'aide des résultats récents d'Arthur.

La compréhension des représentations de groupes réductifs $p$-adiques à coefficients dans des corps de caractéristique $p$ est au coeur de plusieurs problèmes arithmétiques fortement liés à l'étude des congruences entre formes modulaires. Nous présentons dans cet exposé les résultats que nous avons obtenus pour les représentations lisses irréductibles à coefficients dans un corps algébriquement clos de caractéristique $p$ des groupes de la forme $\mathcal G(F)$, où $\mathcal G$ désigne un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé et de rang relatif $1$ sur un corps local non archimédien $F$ complet pour une valuation discrète, de caractéristique résiduelle $p$ et de corps résiduel fini. Nous nous intéresserons plus particulièrement au cas où $\mathcal G = \operatorname{SL}_2$ car ce cas est à la fois le plus accessible de cette théorie, celui dans lequel nous disposons des résultats les plus détaillés et explicites, et il permet toutefois de donner un aperçu des différentes méthodes utilisées dans l'étude du cas général. Nous présenterons aussi les résultats dont nous disposons dans le cas du groupe $\mathcal G=U(2,1)$, qui est quasi-déployé mais non déployé sur $F$.

Let $G$ be a split connected reductive group over a finite extension of $\mathbb Q_p$, and let $H$ be the (pro-$p$) Iwahori-Hecke algebra of $G$ with coefficients in an arbitrary field $k$. In the classical case, where $k$ has characteristic zero, $H$ is known, by Bernstein, to be a regular ring. This means that any $H$-module has a finite projective resolution. This is no longer the case if $k$ has characteristic $p$. In joint work with R. Ollivier we prove that $H$ always is a Gorenstein ring, i.e., has finite injective dimension as a module over itself.

Soit $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien, et soit $G$ le groupe des points rationnels d'un groupe algébrique réductif connexe défini sur $F$. On fixe un corps algébriquement clos $C$ de caractéristique $p$, et on s'intéresse aux représentations admissibles irréductibles de $G$ dans des espaces vectoriels sur le corps $C$. L'induction parabolique est toujours disponible pour les représentations sur $C$, mais d'autres problèmes se posent: les sous-groupes pro-$p$ n'agissent pas de façon semi-simple, le foncteur de Jacquet n'est pas exact, et il existe des représentations cuspidales de $G$ qui apparaissent pourtant comme sous-quotients dans une induite parabolique propre. On est conduit à s'intéresser aux représentation supercuspidales, celles qui ne sont pas de tels sous-quotients. Pour $G=\operatorname{GL}_n(F)$, Florian Herzig a donné une classification "à la Zelevinsky" de toutes les représentations lisses irréductibles en termes des représentations supercuspidales de $\operatorname{GL}_r(F)$, $r$ au plus $n$. Son résultat a été étendu par Noriyuki Abe au cas d'un groupe $G$ déployé sur $F$. Dans les démonstrations, un rôle important est joué par l'induction compacte à partir de "types", qui sont les $C$-représentations irréductibles des sous-groupes parahoriques spéciaux de $G$. Le travail en cours avec Marie-France Vignéras vise à étendre le résultat au cas général: pour l'instant (1er février 2012) nous disposons d'une description de l'algèbre de Hecke d'un type, d'un résultat de comparaison de l'induite compacte d'un type avec une induite parabolique, et (travaux de Tony Lee) d'une description des composants irréductibles de l'induite parabolique du caractère trivial d'un sous-groupe parabolique minimal, description qui interviendra dans la formulation de la classification en général.

Soit $X$ une courbe projective lisse definie sur un corps fini. On peut munir la somme directe des espaces de formes automorphes nonramifiees pour $\operatorname{GL}_n$ sur $X$ d'une structure d'algebre (via l'induction parabolique) et de cogebre (via l'application terme constant). On obtient ainsi une algebre de Hopf autoduale, que nous decrirons de facon explicite en petit genre, et de maniere combinatoire en general. Nous donnerons quelques applications de cette construction, notament dans le cadre du programme de Langlands geometrique. C'est un travail en commun avec M. Kapranov et E. Vasserot.

Les reductions des representations cristallines ne sont pas comprises entierement pourtant. Le cas avec grand $v_p(a_p)$ peut etre attaqué par la methode de modules de Wach (e.g., Berger-Li-Zhu, Berger-Breuil). Le cas avec petit $v_p(a_p)$ peut etre attaqué par la methode de $p$-adic Langlands (e.g., Berger-Breuil, Buzzard-Gee) et le cas intermediaire etait unattaquable avant. Dans cette conference, nous les calculons des cas avec les petit valuations, et intermediaire valuations si le poids est moins que $(p^2−p)/2$ par la methode de modules de Wach. Les polynomes hypergeometriques sont apparus mysterieusement. Ceci est un travail avec S. Yasuda (RIMS, Kyoto).

On expliquera comment on peut utiliser le foncteur de Colmez pour demontrer certains resultats basiques sur les representations localement analytiques de $\operatorname{GL}_2(\mathbb Q_p)$: lemme de Schur, finitude/annulation des modules de Jacquet analytiques, pleine fidelite du foncteur de passage aux vecteurs localement analytiques, restriction au Borel, etc.

We attach Galois representations to automorphic representations on unitary groups whose weight (=component at infinity) is a holomorphic limit of discrete series. The main innovation is a new construction of congruences, using the Hasse Invariant, which avoids $q$-expansions and so is applicable in much greater generality than previous methods. Our result is a natural generalization of the classical Deligne-Serre Theorem on weight one modular forms and work of Taylor on $\operatorname{GSp}_4$.

Let $F$ be a nonarchimedean local field and $\operatorname{GL}_n := \operatorname{GL}_n(F)$. A complex representation $\pi$ of $\operatorname{GL}_n$ is said to be $\operatorname{GL}_{n-1}$-distinguished if there exists a $\operatorname{GL}_{n-1}$-invariant linear form on $\pi$. We classify those irreducible admissible representations of $\operatorname{GL}_n$, $n>2$ which are $\operatorname{GL}_{n-1}$-distinguished. Moreover, if $\pi$ is a principal series induced from an irreducible representation of a Levi of a parabolic subgroup of $\operatorname{GL}_n$, we show that the multiplicity of the space of $\operatorname{GL}_{n-1}$-invariant forms on $\pi$ is bounded by $2$.

Si $n$ est multiple de $8$, l'espace euclidien $\mathbb R^n$ possede des reseaux unimodulaires "pairs". Ils sont en nombre fini a isometrie pres et ont ete classifies pour $n=8$ (reseau $E_8$), $n=16$ ($E_{16}$ et $E_8+E_8$), et $n=24$ (les $24$ reseaux de Niemeier, dont le reseau de Leech). Deux reseaux unimodulaires pairs sont dits $p$-voisins, $p$ étant un nombre premier, si leur intersection est d'indice $p$ dans chacun d'eux. Pour $n=16$ et $n=24$, et pour $L$ et $M$ deux reseaux unimodulaires pairs quelconques de $\mathbb R^n$, nous donnerons dans cet expose une formule explicite pour le nombre des $p$-voisins de $L$ isometriques a $M$, et ce pour tout premier $p$. Le cas $p=2$ remonte a Borcherds et Nebe-Venkov. Un ingredient essentiel en general est la determination d'une collection de representations automorphes (ou galoisiennes!) de conducteur $1$ pour certains petits groupes classiques. Si le temps le permet nous discuterons d'une generalisation au cas des $121$ reseaux pairs de determinant $2$ et de dimension $25$. Travail en commun avec Jean Lannes.

Soient $F$ un corps de nombre totalement reel et $p \geq 3$ un premier. Dans cet expose, nous allons enoncer une conjecture de multiplicité $1$ pour les caractères d'Iwahori en $p$ associes aux représentations galoisiennes $\bmod p$ sur $F$, generiques en $p$. Cette conjecture apparait naturellement dans le cadre de la correspondance de Langlands $\bmod p$ pour $\operatorname{GL}_2/F$. Nous donnerons plusieurs exemples qui soutiennent la conjecture.

L'application de Coleman est un des ingredients essentiels d'une des constructions de la fonction L $p$-adique de Kubota-Leopoldt et de la fonction L $p$-adique associee aux formes modulaires elliptiques. Nous presenterons la construction de l'application de Coleman pour les familles de Hida de $\operatorname{GSp}_4$ qui sont quasi-ordinaires pour le sous-groupe de Borel. Il s'agit d'un travail en commun avec Tadashi Ochiai.

In this talk we will present new results on the arithmetic of automorphic forms of the group $\operatorname{GL}_n(D)$, $D$ being a central simple division algebra over a number field $F$. Our results are generalizations of results obtained in the split case, i.e., $D=F$, by Shimura, Harder, Waldspurger and Clozel for square-integrable automorphic forms and also of Franke and Franke-Schwermer for general automorphic representations. The global Jacquet-Langlands Correspondence, which was recently developed by Badulescu and Badulescu-Renard, will be an important tool. (This is joint work with A. Raghuram.)

The Refined Global Gross-Prasad Conjecture expresses periods of tempered representations as the product of certain L-values and certain local integrals of matrix coefficients. When the global representations are non-tempered, these local integrals could be divergent and we suggest that they be regularized using spherical height functions. As an example, we study the $\operatorname{SO}_4$-periods of $\operatorname{SO}_4 \times \operatorname{SO}_5$ representations when the $\operatorname{SO}_5$-representations are non-tempered and of Saito-Kurokawa type; using theta lifting and our regularization technique, we obtain two precise global period formulas.

Motivated by their appearance in the completions of certain locally algebraic representations appearing in the $p$-adic Langlands program, I will by elementary means introduce and explain, for a real number $r \geq 0$, the notion of an $r$-times differentiable function over a non-Archimedean manifold and state their basic properties.

Une conjecture profonde concernant la catégorie triangulée des motifs sur une base $S$ prédit l'existence d'une $t$-structure, dont toute réalisation serait compatible à la $t$-structure dite "perverse". Cette $t$-structure permettrait notamment la construction de l'extension intermédiaire sur $S$ de tout motif de Chow sur un ouvert $U$ de $S$. Le but de l'exposé est d'esquisser une approche alternative (et surtout inconditionnelle) à l'extension intermédiaire pour les motifs de Chow "Abéliens" sous certaines conditions géométriques sur $S$ et $U$. Ces conditions sont satisfaites notamment quand $U$ est une variété de Shimura, et $S$ sa compactification minimale.

Soit $F$ un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle différente de $2$ et $3$. Nous définissons strates semi-simples et caractères semi-simples pour le groupe exceptionnel $G_2(F)$ à l'aide des objets analogues pour le groupe $\operatorname{SO}_8(F)$, des automorphismes de trialité et d'une correspondance de Glauberman. Nous construisons alors les types semi-simples associés et nous donnons des conditions suffisantes pour que ces types s'induisent irréductiblement, obtenant ainsi des représentations supercuspidales du groupe $G_2(F)$.

La conjecture d'Ichino-Ikeda, ou conjecture de Gross-Prasad raffinée, exprime certains quotients de valeurs critiques de fonctions L en termes de périodes automorphes. On peut vérifier la compatibilité de ces relations avec la conjecture de Deligne sur les valeurs critiques de fonctions L. Ainsi, en admettant la conjecture d'Ichino-Ikeda, on obtient une confirmation de la conjecture de Deligne pour la fonction L adjointe, qui joue un rôle important dans l'étude des déformations de la représentation galoisienne associée.

The non abelian Iwasawa Main Conjecture (for a motive $M$ and a $p$-adic Lie extension $G$) predicts a deep relation between an analytic object, a non abelian $p$-adic L-function (associated to $M$ and $G$), and an algebraic object, a Selmer group (or complex). The evidences for this Main Conjecture are still modest. Even the existence of the non abelian $p$-adic L-function is known mainly when the underlying motive $M$ is that of Tate (thanks to the works of Burns, Hara, Kakde, Kato, Ritter and Weiss). In this talk we will present our work in progress on proving the existence of the non abelian $p$-adic L-function for other motives, as for example motives that arise from elliptic curves with CM.