Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

We describe joint work (with David Ben-Zvi and David Nadler) that constructs an equivalence between the derived category of smooth representations of $\operatorname{GL}_n(\mathbb Q_p)$ and a certain category of coherent sheaves on the moduli stack of Langlands parameters for $\operatorname{GL}_n$. The proof of this equivalence is essentially a reinterpretation of $K$-theoretic results of Kazhdan and Lusztig via derived algebraic geometry. We will also discuss (conjectural) extensions of this work to the modular representation theory of $\operatorname{GL}_n$.

Let $K$ be a finite extension of $\mathbb Q_p$. We prove that the Galois representations that become Barsotti-Tate after an abelian extension are Zariski-dense in the generic fiber of the universal deformation ring of an absolutely irreducible $2$-dimensional residual Galois representation. The proof uses a map from an eigenvariety to the space of trianguline representations and a related density statement on the eigenvariety as a global input. This is joint work with Benjamin Schraen.

I will report on the classification of irreducible admissible mod p representations of $p$-adic reductive groups in terms of supersingular representations. This is joint work in progress with N. Abe, G. Henniart, and M.-F. Vigneras.

The Bernstein center is a commutative ring that plays a role in the smooth representations of p-adic groups that is analogous to role played by the center of the group ring in the representation theory of finite groups. We give some basic structural results for the Bernstein center of the category of smooth l-adic (integral) representations of a $p$-adic $\operatorname{GL}_n$, and explain the implications of these results for the problem of interpolating the local Langlands correspondence across families of Galois representations.

In this talk, we first discuss about a conjectural description of the L-function of Siegel modular $3$-folds $S$ and then next study the non-contribution or contribution of endoscopic lifts to the middle cohomology of some specific $S$. An explicit example which is related to Klein cubic $3$-fold will be given. This is a joint work with Takeo Okazaki.

In this talk, we show how to realize the pro-$p$-Iwahori-Hecke algebra of $\operatorname{SL}_n$ as a subalgebra of the pro-$p$-Iwahori-Hecke algebra of $\operatorname{GL}_n$. Using the interplay between these two algebras, we deduce two main results: one on a numerical Langlands correspondence between "packets" of Hecke modules and mod-p projective Galois representations, and another on an equivalence of categories between Hecke modules and mod-$p$ representations of $\operatorname{SL}_n$.

There is a deep connection between the arithmetic of cyclotomic fields and modular forms. In particular, the structure of Iwasawa modules is related to ring-theoretic properties of Hecke algebras. I will discuss this, as well as connections with Sharifi's conjectures and Kato and Fukaya's work on them.

La cohomologie des systèmes locaux d'Harris-Taylor sur les strates de Newton d'une variété de Shimura unitaire "simple" fournit des congruences automorphes que l'on peut, parfois, qualifier "d'augmentation de l'irréductibilité".

The first half of the lecture will discuss Tian's beautiful work on the classical congruent number problem, and the second half will discuss some extensions of this work to other elliptic curves defined over $\mathbb Q$.

Nous rappellerons le programme initié par Taylor pour prouver la modularité de représentations icosahédrales impaires du groupe de Galois absolu des rationnels, puis nous expliquerons comment adapter ce programme aux corps totalement réels. Nous donnerons des applications à certains cas des conjectures d'Artin et de Fontaine-Mazur. Travail en commun avec Vincent Pilloni.

On expliquera une construction de famille de systèmes d'Euler de Kato sur une courbe de Hecke cuspidale. Si le temps le permet, on expliquera aussi son application à la construction de la fonction L p-adique de forme modulaire.

Dans un travail en cours avec Harald Grobner, nous donnons plusieurs expressions pour les valeurs critiques des fonctions L de formes automorphes cohomologiques sur $\operatorname{GL}(n) \times \operatorname{GL}(n-1)$, obtenant ainsi (dans le cas "général") des relations entre périodes de Whittaker, périodes de Deligne, et normes de Petersson.

We consider Rankin-Selberg L-functions of $\operatorname{GL}_2$ over totally real number fields, in particular corresponding to Hilbert modular eigenforms of parallel weights two and one. Here, the weight two form f is cuspidal (and fixed), and the weight one form $g_W$ is the theta series associated to some Hecke character W of a CM extension of the totally real base field (which we vary). Such L-functions are not necessarily self-dual, and the well known special value formulae of Waldspurger, Gross-Zagier et alia do not typically apply. In the general setting where the (central) critical values are not forced to vanish by the functional equation, I will explain how a combination of analytic averaging techniques with the existence of some associated $p$-adic L-function can be used to deduce positive density nonvanishing properties for families of special values, thus extending the relevant theorems of Rohrlich, Vatsal and Cornut-Vatsal. If time permits, then I will also explain some open problems that can likely be addressed via similar techniques.

Pour tout groupe réductif $G$ sur un corps de fonctions, on utilise la cohomologie des champs de $G$-chtoucas à pattes multiples pour démontrer la correspondance de Langlands pour $G$ dans le sens "automorphe vers Galois". On obtient en fait une décomposition canonique des formes automorphes cuspidales indexée par les paramètres de Langlands. On évoquera de plus dans cet exposé un travail en cours avec Alain Genestier, ayant pour objet (dans le cas des corps de fonctions) la correspondance locale et la structure des formules de multiplicités d'Arthur.

Nous expliquons que, comment utiliser la théorie de Fargues de la filtration de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats pour trouver certains domaines compacts dans certaines espaces de Rapoport-Zink pour des groupes unitaires, tels que les itérés de ce domaine par les actions des groupes forment un recouvrement localement fini de tout l'espace. Nous en déduisons une formule de Lefschetz de ces constructions géométriques, ce qui sera utile pour le passage aux représentations réalisées dans la cohomologie de ces espaces de Rapoport-Zink.

A la fin des années 1980, S.Bloch et K.Kato ont formulé une conjecture prédisant la valeur exacte des valeurs spéciales des fonctions L des motifs purs sur Q. Peu de temps après, K.Kato a donné une formulation de cette conjecture incorporant l'action du groupe de Galois d'une extension abélienne finie et montré que la collection de ces conjectures pour le motif $Q(1)$ et pour les sous-extensions de la $p$-extension cyclotomique de $\mathbb Q$ impliquait la conjecture principale d'Iwasawa. Nous expliquerons une généralisation de cette conjecture pour les variétés de Shimura incorporant l'action de l'algèbre de Hecke ainsi que leur preuve pour la fonction L d'une forme modulaire $f$ aux valeurs critiques (sous certaines hypothèses sur la représentation résiduelle de $f$).

Weyl laws in the theory of automorphic representations are asymptotic laws, which address the question whether and how many automorphic representations exist with principal series representations at the archimedean places. These do (except for finitely many) not correspond to Galois representations and cannot be understood by algebra-geometric methods. Generalizations of these Weyl laws to the hybrid case, where not at all factors at the archimedean places are principal series representations, are presented. Moreover, these Weyl laws will be uniform in the level aspect, i.e., include and refine even the classical Weyl laws for Maass wave forms in the aspect that the dependency of the error term from the surface is explicit. The key difficulty in the proof of these laws involves defining a suitable partition of the cuspidal automorphic spectrum and a specialization of the Arthur trace formula for $\operatorname{GL}(2)$ according to a specific partition. The presented formulas generalize simultaneously the original Selberg trace formula for the Laplace eigenvalues and Eichler-Selberg trace formulas for Hecke eigenvalues, yet avoid computational difficulties from the classical theory such as the computation of the scattering matrices. In this context, my formulas are given for an arbitrary global fields. Reference: My PhD thesis, arXiv:1212.4282

We study irreducible admissible modulo p representations of a split p- adic group. We give a classification in terms of supercuspidal representations. This is a generalization of Barthel-Livne ($\operatorname{GL}(2)$) and Herzig ($\operatorname{GL}(n)$).

Following Jacquet, Lapid and Rogawski, we define a regularized period of an automorphic form on $\operatorname{GL}(n+1) \times \operatorname{GL}(n)$ relative to $\operatorname{GL}(n)$, and we express it in terms of the zeta integral studied by Jacquet, Piatetski-Shapiro and Shalika. This extends the theory of the Rankin-Selberg integral representation for $\operatorname{GL}(n+1) \times \operatorname{GL}(n)$ to all automorphic forms on $\operatorname{GL}(n+1) \times \operatorname{GL}(n)$. This is a joint work with Atsushi Ichino.

On utilise la formule des traces d'Arthur-Selberg pour etudier la stratification de Newton des varietes de Shimura.

Le but de cet exposé est de montrer que des représentations elliptiques sont stables ou obtenues par transfert si et seulement si cela est vrai quand on restreint le calcul de leur trace tordue aux fonctions cuspidales. Pour obtenir ce résultat, on commence par donner une caractérisation des représentations elliptiques comme représentations super-tempérées en suivant les travaux d'Harish-Chandra, dans le cas archimédien et R. Herb dans le cas p-adique; puis on applique les méthodes qu'Arthur a développées dans le cas non tordu.

Je rappellerai la partie géométrique de la formule des traces tordue, pour un triplet $(G,\tilde{G},\omega)$ défini sur un corps de nombres $F$ ($G$ est un groupe réductif connexe, $\tilde{G}$ est un espace tordu sous $G$, $\omega$ est un caractère automorphe de $G(A_F)$). Cette formule est combinaison linéaire d'intégrales orbitales pondérées $\omega$-équivariantes associées à des éléments de $\tilde{G}(F)$. Ces intégrales sont de nature locale. Les coefficients de cette combinaison linéaire sont de nature globale. En suivant Arthur, on peut stabiliser (encore conjecturalement) aussi bien ces intégrales que ces coefficients. Dans le premier exposé, j'expliquerai la stabilisation des intégrales orbitales pondérées $\omega$-équivariantes. J'ai déjà exposé cela il y a deux ans mais l'exposé d'alors contenait une erreur grave. J'indiquerai comment la corriger. Dans le deuxième exposé, j'expliquerai la stabilisation des coefficients. Une méthode de descente similaire à celle utilisée par Arthur (dans son deuxième article sur la stabilisation dans le cas non tordu) permet de démontrer par récurrence les résultats espérés pour presque tous les éléments de $\tilde{G}(F)$.

Je rappellerai la partie géométrique de la formule des traces tordue, pour un triplet $(G,\tilde{G},\omega)$ défini sur un corps de nombres $F$ ($G$ est un groupe réductif connexe, $\tilde{G}$ est un espace tordu sous $G$, $\omega$ est un caractère automorphe de $G(A_F)$). Cette formule est combinaison linéaire d'intégrales orbitales pondérées $\omega$-équivariantes associées à des éléments de $\tilde{G}(F)$. Ces intégrales sont de nature locale. Les coefficients de cette combinaison linéaire sont de nature globale. En suivant Arthur, on peut stabiliser (encore conjecturalement) aussi bien ces intégrales que ces coefficients. Dans le premier exposé, j'expliquerai la stabilisation des intégrales orbitales pondérées $\omega$-équivariantes. J'ai déjà exposé cela il y a deux ans mais l'exposé d'alors contenait une erreur grave. J'indiquerai comment la corriger. Dans le deuxième exposé, j'expliquerai la stabilisation des coefficients. Une méthode de descente similaire à celle utilisée par Arthur (dans son deuxième article sur la stabilisation dans le cas non tordu) permet de démontrer par récurrence les résultats espérés pour presque tous les éléments de $\tilde{G}(F)$.

I will discuss joint work with Matthew Emerton and David Savitt, proving conjectures of Breuil and Dembele. More precisely, we prove a multiplicity one result for the mod p cohomology of a Shimura curve at Iwahori level, and we show that certain apparently globally defined lattices in the cohomology of Shimura curves are determined by the corresponding local p-adic Galois representations. Our main tools are the geometric Breuil–Mezard philosophy, and a new and more functorial perspective on the Taylor–Wiles–Kisin patching method.

Recemment, Matthew Emerton a demontre que on peut retrouver la correspondence de Langlands mod p at p-adique dans la cohomologie completee de tour des courbes modulaires. On s'appuyant sur ce resultat, on va demontrer comment on peut retrouver la meme correspondence dans la cohomologie de tour de Lubin-Tate. En plus, on va discuter plusieurs nouveux phenomenes qui se produit dans ce cas, parmi lequels: l'existence de la correspondance de Jacquet-Langlands mod p.

We will define and study a class of algebras containing classical (generic) affine Hecke algebras as well as the pro-$p$-Iwahori Hecke algebras appearing in the mod $p$ Langlands correspondence. Building upon a result of Ram we will introduce families of (integral) linear bases of these algebras related to Bernstein's presentation. This will allow us to give a description of the center, recovering earlier results of Vignéras.

Affine Deligne-Lusztig varieties are a generalisation of the sets of geometric points of Rapoport-Zink spaces, or of moduli spaces of local G-shtukas. In this talk I will explain joint work with M. Chen and M. Kisin on how to define and determine their sets of connected components. These results have applications on the realisation of local Langlands correspondences in the cohomology of Rapoport-Zink spaces (due to Chen), and on the study of the mod p points of Shimura varieties of Hodge type (by Kisin).

Les cristaux sont des objets algébriques qui permettent par exemple de classifier les groupes p-divisibles sur les corps parfaits de caractéristique $p$. Certains ensembles de cristaux - avec des structures additionnelles - apparaissent ainsi naturellement lorsque on essaye de décrire la réduction des variétés de Shimura. Ces ensembles ou espaces de cristaux ont eux même une structure combinatoire qui reste assez mystérieuse. Nous décrirons le squelette de ces espaces, dont ils sont en quelque sorte un épaississement. Ce projet en commun avec Marc-Hubert Nicole s'inscrit dans la continuité des travaux de Kottwitz, Rapoport et Richarz sur la classification des G-isocristaux et s'inspire des idées de Oort sur les cristaux minimaux. On y ajoute l'usage systématique des immeubles de Bruhat-Tits, dont on utilise crucialement la structure d'espace métrique à courbure négative.

In this talk, I'll describe a construction of a family of cohomology classes in the product of the Galois representations attached to two weight 2 modular forms over cyclotomic fields, generalizing constructions of Beilinson, Flach, and Bertolini-Darmon-Rotger. These classes form an "Euler system", which can be used to bound the size of Selmer groups. I will also discuss applications of this construction to the Iwasawa theory of a single modular form over an imaginary quadratic field.

We first recall the essentially tame local Langlands correspondence of $\operatorname{GL}_n$ constructed by Bushnell and Henniart. Their results describe the difference of the local construction and the functorial induction of supercuspidal representations by certain characters, called rectifiers, of elliptic tori. We relate their results to endoscopic transfer relations of Kottwitz, Langlands and Shelstad by comparing twisted characters of representations. Therefore we can relate rectifiers to certain transfer factors, and hence we can interpret the essentially tame correspondence using admissible embeddings of $L$-groups.

L'étude des normes $L^\infty$ de fonctions propres du Laplacian sur des variétés Riemanniennes compactes a une longue histoire, les premiers résultats datant des années 1960 et le travail de Hormander. Quand la variété compacte est un espace localement symétrique de courbure négative, ces normes ont attiré l'attention de théoriciens des nombres, ne serait ce que pour leur relation aux fonctions $L$. Nous nous intéressons dans cet exposé à la taille des formes cuspidales sur certaines espaces non-compactes, notamment, les quotients de congruences de $\operatorname{SL}_n(R)/SO(n)$. Une telle fonction oscille sur une grosse partie de l'espace et décroît rapidement dans les pointes. En faisant la transition entre ces deux régions, les ondes se ralentissent et la fonction prend sa plus grande valeur. Lorsque $n=2$, Iwaniec et Sarnak ont quantifié ce comportement pour les formes de Maass, en montrant que leur normes $L^\infty$ grandissent comme une puissance de la valeur propre. Dans un travail en commun avec N. Templier, on effectue une analyse de la taille des formes de Maass dans la zone de transition en rang supérieur. En particulier, on établit des minorations sur la norme $L^\infty$ qui, pour n grand, sont d'une qualité surprenante. On donne une explication géométrique à nos résultats.

Let $E$ be an elliptic curve, defined over the field of rational numbers, of arithmetic conductor $Np$, where $N>1$ is an integer and $p$ is a prime which does not divide $N$. Let $f$ be the weight 2 newform attached to $E$. We consider the Hida family passing through $f$. To each classical form in the Hida family, we may associate its Saito-Kurokawa lifting. It is known that there exists a p-adic family of Siegel modular forms interpolating these liftings, in the same way as the original Hida family interpolates classical forms. The family of Siegel modular forms can be written as an explicit formal power series expansion. We show a relation beteen the coefficients of this formal series and certain global points on the elliptic curve E. The global points have been introduced by H. Darmon in 2001, explaining the title of the talk. This is a joint work with M.-H. Nicole.

This is a joint work with Ming-Lun Hsieh. In this talk, we will discuss on anticyclotomic Iwasawa theory for modular forms. First, we will generalize a construction of Bertolini-Darmon's p-adic L-functions for higher weight modular forms by interpolating the toric period integrals essentially. Then the interpolation property is explained by Waldspurger's result. We also discuss the vanishing of mu-invariant of the p-adic L-functions, which is a generalization of a result of Vatsal.

Soient $F$ un corps localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle $p$ et $G$ un groupe réductif connexe déployé sur $F$. Nous fixons $T$ un tore déployé, $K$ un sous-groupe compact maximal hyperspécial, et $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique p. Pour $\rho$ une $k$-représentation irréductible lisse de $K$, nous construisons un isomorphisme d'une certaine $k$-algèbre commutative $k[X^+(T)]$ vers l'algèbre de Hecke $H(G,\rho)$. Ce résultat est indépendant de l'isomorphisme de Satake construit par Herzig: nous fournissons ainsi une nouvelle preuve de la structure de $H(G,\rho)$ et, lorsque le sous-groupe dérivé de $G$ est simplement connexe, nous prouvons que notre isomorphisme est un inverse de l'isomorphisme de Satake. Nous en déduisons un résultat de compatibilité entre l'isomorphisme de Satake et un isomorphisme à la Bernstein en caractéristique $p$.

In this pair of talks I will give an overview/survey of what one hopes to prove about the generating series associated to special arithmetic cycles in the Shimura varieties defined by unitary groups. Much of this is a longstanding joint project with Michael Rapoport. In addition, there is a lot of recent work by many people, including Ulrich Terstiege, Ben Howard, YiFeng Liu and others.