Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

La contribution des termes unipotents dans la formule des traces telle qu'Arthur l'a développée n'est pas aussi explicite que celle des termes réguliers semi-simples. Dans cet exposé, nous expliquerons comment obtenir de nouvelles expressions pour la contribution de certaines orbites unipotentes. Nous énoncerons aussi une conjecture sur les valeurs explicites des contributions unipotentes pour une fonction test très particulière.

I want to explain a weighted version of Weyl's law for automorphic cuspidal representations of $\operatorname{GL}_n$ over imaginary quadratic number fields. More precisely, we will consider the asymptotic behaviour of averages of traces of Hecke operators for such groups, and give an upper bound for the remainder of this asymptotic depending explicitly on the degree of the Hecke operator.

Dans l'histoire de l'établissement d'une correspondance de Langlands modulo $p$ et $p$-adique pour $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$, une étape essentielle a été la classification des représentations lisses admissibles irréductibles modulo $p$ de $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Q}_p$). Dans l'espoir qu'un jour une correspondance similaire puisse être démontrée pour d'autres groupes réductifs sur un corps $p$-adique, on veut s'intéresser aux représentations lisses admissibles irréductibles du groupe des $F$-points d'un groupe réductif connexe sur un corps local non archimédien localement compact $F$. Le cas étudié ici sera $\operatorname{GL}_m(D)$ pour $m \geq 1$ un entier et $D$ une algèbre à division sur $F$. En particulier, on tâchera d'expliquer les différences avec les résultats (par Barthel-Livné, Herzig) concernant $\operatorname{GL}_n(F)$ que ce travail généralise.

A classical construction in complex algebraic geometry, due to Kuga and Satake, associates to any K3 surface an abelian variety, with a precise relationship between their Hodge structures. Variations on the original construction have arisen over the years, but always depending on the very special nature of the Hodge theory of abelian varieties. After reviewing some arithmetic evidence that the Kuga-Satake construction should be simply the first case of a general motivic phenomenon, I will give some examples, having nothing to do with abelian varieties, arising from the study of rigid local systems on the punctured line. One set of examples will rely on Katz's theory of middle convolution. The other will rely on interpreting an elementary construction for automorphic representations in terms of geometric Langlands theory.

Let B be a definite quaternion algebra over the rationals, G the algebraic group defined by the units in B and H the subgroup of G of norm one elements. The classical transfer of automorphic representations from G to H is well understood thanks to Labesse and Langlands who proved formulas for the multiplicity of irreducible admissible representations of H(adeles) in the discrete automorphic spectrum. The goal of this talk is to study a p-adic version of this transfer. By this we mean an extension of the classical transfer to p-adic families of automorphic forms as parametrized by eigenvarieties. The aim will be to find a morphism between eigenvarieties, which agrees with the classical transfer on points corresponding to classical automorphic representations.

The special fiber of a smooth model for a Shimura variety of Hodge type admits a Newton stratification and an Ekedahl-Oort stratification, in analogy to PEL-type Shimura varieties these are obtained from the classification of p-divisible groups with certain additional structures which are associated to points on the special fiber. A special role among the Newton strata plays the ``$\mu$-ordinary locus'', the generalization of the ordinary locus in moduli spaces of abelian varieties. We will explain a group theoretic approach to compare the Newton and Ekedahl-Oort stratification, and use this method to generalize results of Wedhorn and Moonen on the $\mu$-ordinary locus for PEL-type Shimura varieties to the Hodge type case. In particular this proves that the $\mu$-ordinary locus is open and dense.

La théorie des formes automorphes pour les groupes réductifs admet une extension aux groupes métaplectiques, qui proviennent de la théorie de Deligne-Brylinski des extensions centrales de $G$ par $K_2$. Je présenterai une version de Langlands géométrique pour ces groupes métaplectiques dans le cas partout nonramifié. Cela contient la construction du ``groupe dual métaplectique''. Dans le cas des tores métaplectiques, je presenterai la construction des faisceaux automorphes en comparant avec la situation au niveau des fonctions. Ensuite, pour un groupe $G$ simple simplement connexe, je vais definir les séries d'Eisenstein géométriques dans le cas métaplectique. On montre qu'ils realisent la fonctorialité par rapport à l'inclusion d'un tore maximal dans ``le groupe dual metaplectique''.

Soit $f$ une forme modulaire de poids $2k$ et Steinberg en $p$. Sous certaines hypothèses sur le conducteur de $f$, on donne une formule pour la dérivée en $s=2k-1$ de la fonction $L$ $p$-adique pour le carré symétrique de $f$, démontrant ainsi une conjecture de Benois. Crucial pour la démonstration est la fonction $L$ $p$-adique de Böcherer et Schmidt, dont on rappellera la construction.

Nous présenterons les arguments indiquant que les intégrales de Feynman peuvent être vue comme des intégrales de périodes. Dans cet exposé nous montrerons cette relation sur des exemples précis de diagrammes à deux et trois boucles. Nous montrerons que ces intégrales de Feynman sont les périodes de variations de structures de Hodge mixtes, que nous exprimerons comme des séries d’Eisenstein de régulateurs d’une classe de la cohomologie motivique. Nous montrerons que ces résultats s’expriment naturellement en termes de polylogarithmes elliptiques. Cet exposé est basé sur le travail [arXiv:1309.5865] réalisé en collaboration avec Spencer Bloch, et des travaux en cours avec Spencer Bloch et Matt Kerr.

To understand arithmetic properties of Shimura varieties, one studies their reduction over finite fields. One of the principal tools to investigate the special fiber is the Newton stratification. There is a unique closed Newton stratum, the so-called basic locus. In certain cases it is possible to understand the geometric structure of the basic locus very explicitly, as a union of classical Deligne-Lusztig varieties with a description of the closure relations between them in terms of a Bruhat-Tits building. We will present a group-theoretic approach in terms of affine Deligne-Lusztig varieties which gives a conceptual understanding in which cases one can hope for such a simple description and how it should look like.

Dans cet exposé, je définirai un bimodule explicite qui devrait conjecturalement réaliser la fonctorialité d'Arthur-Langlands géométrique locale au niveau Iwahori. Après avoir rappelé brièvement la correspondance de Howe et les grandes lignes de sa géométrisation, j'énoncerai une conjecture reliant le bimodule réalisant la correspondance de Howe et le bimodule de la fonctorialité d'Arthur-Langlands locale géométrique au niveau Iwahori pour les paires duales réductives de type II. J'expliquerai comment démontrer cette conjecture pour les paires duales de la forme $(\operatorname{GL}_1,\operatorname{GL}_m)$.

Etant donné un ``poids de Hodge'' $k_1>k_2>...>k_n$ ($k_i$ entier), j'expliquerai comment calculer, en utilisant la formule des traces d'Arthur, le nombre de représentations automorphes cuspidales essentiellement auto-duales et de "niveau $1$" pour $\operatorname{GL}_n$ sur $\mathbb Q$ ayant comme poids de Hodge les $k_i$.

L’algèbre de Hecke $H$ sur un anneau commutatif $R$, du pro-$p$-Sylow d’un sous-groupe d’Iwahori d’un groupe réductif $p$-adique connexe $G$ est une déformation de la $R$-algèbre d’une variante dun groupe de Weyl affine. Les bases de $H$ associées aux galeries orientées par le choix dune chambre de Weyl, généralisant la base complexe de Bernstein-Lusztig, la formule du produit, et les relations de Bernstein, sont les outils essentiels de leur théorie. Elles permettent de simplifier la preuve de résultats connus lorsque $G$ est déployé et de les démontrer pour tout $G$. On décrit le centre de $H$, et l’on montre la noetheriannité de $H$ si $R$ est noetherien. Lorsque $R$ est un gros corps de caractéristique $p$, on retrouve l’homomorphisme de Satake en plongeant les algèbres de Hecke sphériques (avec poids) dans $H$, et l’on classifie les $H$-modules simples supersinguliers.

La conjecture d'Ax-Lindemann hyperbolique est un énoncé de transcendance fonctionnelle qui décrit l'adhérence des "flots algébriques" dans les variétés de Shimura. J'expliquerai la preuve de cette conjecture, obtenue avec Ullmo et Yafaev. J'expliquerai aussi la place de cet énoncé dans la stratégie de Pila-Zannier pour une preuve inconditionnelle de la conjecture d'André-Oort.

Étant donné $G$ un groupe déployé réductif $p$-adique, on regarde la représentation localement algébrique $V$ de $G$ induite par un certain caractère d'un Borel $B$ de $G$. On vise la construction d'une norme $G$-invariante sur $V$. Nous verrons que elle se décrit par des normes de fonctions fractionnairement dérivables sur la cellule ouverte de G qui sont entrelacées par un opérateur - espérons-le - fermé.

Nous décrirons la correspondance de Langlands pour les formes intérieures de $\operatorname{GL}_n(F)$, puis de de $\operatorname{SL}_n(F)$, avec $F$ corps local non archimédien de caractéristique quelconque. Au cours de la preuve, nous montrerons que, pour des corps suffisamment proches relativement aux niveaux des représentations considérées, la méthode des corps proches est compatible avec la correspondance de Langlands pour les formes intérieures de $\operatorname{GL}_n(F)$. Il s'agit d'un travail commun avec P. Baum, R. Plymen et M. Solleveld.

La relation de congruence est une conjecture qui généralise la relation d'Eichler-Shimura pour la courbe modulaire. T.Wedhorn et O. Bültel ont fourni une preuve dans certains cas PEL, où le lieu mu-ordinaire de l'espace des p-isogénies est dense. Quand cette condition n'est pas vérifiée, peu de choses sont connues. Pour les variétés de Shimura associées au groupe GU(n-1,1), cette condition est satisfaite si et seulement si n est pair. Nous montrons la relation de congruence quand n est impair, en étudiant ce qui se passe sur le lieu supersingulier.

Un théorème de Laffaille caractérise les isocristaux filtrés (faiblement) admissibles (lorsque $e=1$): ce sont ceux qui contiennent un réseau fortement divisible. On peut voir cet énoncé comme un théorème de point fixe dans l'immeuble de Bruhat-Tits de $G=\operatorname{GL}_n$. Ce théorème reste valable dans tous les immeubles euclidiens et fournit donc un analogue du critère d'admissibilité de Laffaille pour les G-isocristaux filtrés, où $G$ est maintenant arbitraire.

Let $\mathfrak{X}_+$ be the Bruhat Tits halftree of $\textrm{Z}_2(\mathbb{Q}_p)$ on which the monoid $\left(\begin{array}{cc}\mathbb{Z}_p-\{0\} & \mathbb{Z}_p\\0 & 1\end{array}\right)$ acts. Let $G$ be a split reductive group over $\mathbb{Q}_p$ with connected center. Let $X$ be the semisimple Bruhat Tits building of $G$. The choice of a semiinfinite chamber gallery in an apartment of $X$ (satisfying some conditions) defines an embedding of $\mathfrak{X}_+$ into $X$ which is "equivariant" in a certain sense: It allows one to pull back $G$-equivariant coefficient systems $\mathcal{V}$ on $X$, satisfying a local smoothness condition, to equivariant coefficient systems on $\mathfrak{X}_+$. Now let $\mathcal{H}$ be the pro-$p$-Iwahori Hecke algebra, with coefficients in a finite field $k$ of characteristic $p$, corresponding to a pro-$p$-Iwahori subgroup in $G$. A finite dimensional $\mathcal{H}$-module $M$ gives rise to a coefficient system $\mathcal{V}=\mathcal{V}_M$ on $X$ as above. Pulling it back to $\mathfrak{X}_+$ as indicated and then carrying out Colmez' construction we obtain a $(\varphi,\Gamma)$-module over $k$. Composing with Fontaine's equivalence, we obtain a functor from the category of finite dimensional $\mathcal{H}$-modules to the category of $\textrm{Gal}_{\mathbb{Q}_p}$-representations over $k$. If $G=\textrm{Z}_n(\mathbb{Q}_p)$ it induces a bijection between simple supersingular $n$-dimensional $\mathcal{H}$-modules and irreducible $n$-dimensional $\textrm{Gal}_{\mathbb{Q}_p}$-representations over $k$.

Coleman a prouvé qu'une forme modulaire surconvergente sur la courbe modulaire, de niveau Iwahorique et propre pour l'opérateur $U_p$ de valeur propre $a_p$, était classique dès que le poids était grand devant la valuation de $a_p$. Ce résultat a été redémontré par Buzzard et Kassaei, qui ont cherché à prolonger analytiquement la forme modulaire à toute la courbe modulaire. Je montrerai comment cette méthode se généralise aux variétés de Hilbert-Siegel, associées à un corps totalement réel dans lequel $p$ est non ramifié. Je discuterai également des difficultés posées dans le cas où $p$ est ramifié, ainsi que de pistes pour les résoudre.

Dans son article à Selecta, Arthur démontre deux résultats importants. Il considère un groupe réductif $G$ défini sur un corps local non-archimédien $F$. Supposons d'abord $G$ quasi-déployé. Soit $\Pi$ une combinaison linéaire de caractères de représentations ``elliptiques'' de $G(F)$. Supposons que la restriction de $\Pi$ à l'ensemble des éléments elliptiques de $G(F)$ soit stable. Alors $\Pi$ est stable. Pour $G$ quelconque, soit $G'$ un groupe endoscopique elliptique de G. Soient $\Pi$, resp. $\Pi'$, une combinaison linéaire de caractères de représentations ``elliptiques'' de $G(F)$, resp. $G'$(F). Supposons $\Pi'$ stable et supposons que $\Pi$ coïncide avec le transfert de $\Pi'$ sur l'ensemble des éléments elliptiques de $G(F)$. Alors $\Pi$ est le transfert de $\Pi'$. Nous démontrerons des résultats analogues pour un espace tordu $\tilde{G}$ défini sur $\mathbb{R}$. Il est probable que ces résultats sont aussi conséquence des travaux récents de Mezo mais nous en donnerons une présentation plus proche de celle d'Arthur.

Soit S une variété de Shimura compacte uniformisée par la boule complexe de dimension n. La conjecture de Hodge affirme que toute classe de Hodge dans $H^{2k} (S , Q)$, $k=0, \ldots , n$, est algébrique. Dans cet exposé je tenterai de donner les principales idées de la vérification de cette conjecture pour tous les degrés $k$ hors du voisinage $]n/3, 2n/3[$ du degré médian. Ce résultat est tiré d'un travail en commun avec John Millson et Colette Moeglin.

Je vais expliquer une construction des variétés de Hecke introduite par Andreatta, Iovita et Pilloni dans le cas Hilbert et Siegel et généralisé par moi-même dans le cas PEL. Plutôt que expliquer les détails techniques je parlerai des avantages et des inconvénients de cet approche.

Dans cet expose sur un travail un commun avec Tony Scholl je vais formuler une conjecture geometrique qui implique que certaines varietes (ou champs) de Shimura devraient admettre une nouvelle theorie cohomologique (cohomologie plectique). Je vais concentrer sur les aspects $l$-adiques de la conjecture et sur leurs applications aux systemes euleriens. La theorie de Hodge et les valeurs des fonctions L vont apparaitre dans l'expose "Cohomologie Plectique II/Plectic cohomology II" de Tony Scholl au Seminaire de la Theorie des Nombres a 14h (salle 15-25-502).