Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

We construct a family of affinoids in the Lubin-Tate perfectoid space and their formal models such that the middle cohomology of the reductions of the formal models realizes the local Langlands correspondence and the local Jacquet-Langlands correspondence for representations of exponential Swan conductor one, which we call the simple epipelagic representations. We discuss also a relation between these affinoids and CM points. This is a joint work with Takahiro Tsushima.

Dans cet exposé, on s'intéresse aux liens entre l'induction parabolique et la correspondance de Langlands. En introduisant la notion de paramètre de Langlands enrichi cuspidal, on vérifie grâce au cas connu de la correspondance de Langlands locale et des travaux de C. Moeglin que ces paramètres devraient correspondent conjecturalement aux représentations supercuspidales. Par ailleurs, dans le cas des groupes classiques, on construit le ``support cuspidal'' d'un paramètre de Langlands enrichi. On obtient ainsi une décomposition des paramètres de Langlands enrichis à la Bernstein. En conséquence, on obtient une version ``galoisienne'' de la conjecture d’Aubert-Baum-Plymen-Solleveld et la compatibilité de l'induction parabolique avec la correspondance de Langlands pour les groupes classiques.

Utilisant les résultats de J. Arthur sur la théorie des représentations des groupes classiques, le travail complémentaire de C. Moeglin et sa relation avec la théorie des représentations des algèbres de Hecke affines établie par l'orateur, nous montrons que la catégorie des représentations complexes lisses d'un groupe classique $p$-adique et de ses formes intérieures pures se décompose naturellement en sous-catégories qui sont équivalentes à un produit tensoriel de catégories de représentations unipotentes (au sens de G. Lusztig) de groupes classiques. Tous les groupes classiques (linéaire général, orthogonal, sympléctique et unitaire) apparaissent dans ce contexte. Un énoncé dans ce sens avait été conjecturé par G. Lusztig.

Nous montrons comment l'adaptation d'idées de Scholze permet d'associer des représentations galoisiennes aux classes de cohomologie cohérente des variétés de Shimura, donc en particulier aux représentations automorphes qui sont limites non dégénérées de séries discrètes aux places infinies. La démonstration utilise les modèles étranges des variétés de Shimura, et permet d'obtenir des informations sur leur géométrie. Avec Vincent Pilloni.

Based on motivic integration and on Waldspurger's endoscopic transfer of orbital integrals in characteristic zero, we deduce corresponding results in positive characteristic in sufficiently large residual characteristic. This is joint work with J. Gordon.

J'expliquerai comment construire une équivalence de catégories entre un bloc de $\mathbb Z_l$-représentations de $\mathrm{GL}_n(\Q_p)$ de niveau $0$ et le bloc unipotent d'un produit approprié de groupes linéaires sur des extensions non ramifiées de $\mathbb Q_p$. Ce résultat est bien connu pour les $\mathbb Q_l$ représentations, et s'obtient par la théorie des types et de leurs algèbres d'entrelacement. Mais cette méthode semble difficile à adapter aux $\mathbb Z_l$-représentations. En fait, les mêmes difficultés apparaissent pour les représentations et blocs de $\mathrm{GL}_n(\mathbb F_p)$, et ont été résolues par Bonnafé et Rouquier grâce aux variétés de Deligne et Lusztig. Notre stratégie consiste à ``localiser'' les représentations de $\mathrm{GL}_n(\mathbb Q_p)$ sur son immeuble et à ``recoller'' les équivalences de catégories de Bonnafé-Rouquier.

Dans cet exposé j'expliquerai une nouvelle preuve de la classification des représentations irréductibles unitaires du groupe $\mathrm{GL}(n,F)$ et de ses formes intérieures, où $F$ est un corps local non-archimédien. C'est un travail en collaboration avec Erez Lapid.

Let $G$ be a $p$-adic split reductive group and $X$ its adic flag variety. We explain how the category of locally analytic $G$-representations (with trivial infinitesimal character) embeds into a category of equivariant arithmetic $D$-modules on $X$. As an application we show, in the case of $\mathrm{GL}(2)$, that representations coming from equivariant bundles on Drinfeld's first étale covering of the $p$-adic upper half plane are admissible.

On donnera une idée de la fin de la démonstration; cet exposé est donc la suite de l'exposé de Waldspurger mais en est indépendant.

Je rappellerai l'énonce de la formule des traces tordue. J'expliquerai ce que stabiliser cette formule veut dire. Cette stabilisation a été obtenue récemment dans un travail commun avec C. Mœglin. La démonstration suit assez fidèlement celle d’Arthur qui concernait le cas non tordu. Je commencerai à expliquer les grandes lignes de cette démonstration.

Il s'agit de la famille de Coleman pour des forme paraboliques de $\operatorname{GL}(2)$ de pente fixée. On considère des familles de représentations Galoisiennes et on discute le problème d'interpoler les applications exponentielles de Bloch-Kato (l'application de Coleman). Le résultat est une généralisation non-ordinaire d'un résultat de l'orateur (American Jour. of Math 2003) dans lequel on construit l'application de Coleman pour la famille de Hida et on construit la fonction L $p$-adique en deux variables a partir de système d'Euler de Beilinson-Kato. Ce résultat est un travail commun avec Filippo A. E. Nuccio Mortarino Majno di Capriglio (Saint-Étienne).

L'invariant de Hasse classique d'une courbe elliptique ou d'une variété abélienne permet de détecter si elle est ordinaire ou non. Quand le schéma de base est par exemple une variété de Shimura, on obtient une section globale du fibré de Hodge, qui s'annule exactement en dehors du lieu ordinaire. On peut se poser alors deux questions: Comment généraliser ceci quand le lieu ordinaire est vide? Peut-on construire des sections de ce fibré sur d'autres strates d'Ekedahl-Oort?

Let $\pi$ be a cuspidal automorphic representation of $\operatorname{GL}(n)$ over a number field $F$, whose Satake parameters are algebraic numbers. Fix a rational prime $p$, and let $X$ be the set of all finite-order idèle class characters of $F$ obtained by composition with the norm homomorphism from $F$ to $\mathbb Q$ with some Dirichlet character of $p$-power conductor. I will explain why one should expect that for all but finitely many characters $\xi$ in the set $X$, the central value $L(1/2, \pi \times \xi)$ does not vanish, as well as some results in special cases.

On établit l'existence et l'unicité des facteurs-$\gamma$ des carrés extérieur et symétrique tordus en caractéristique positive en étudiant le Lévi de Siegel d'un groupe spinoriel généralise. La théorie en caractéristique zéro étant complètement due a Shahidi. En caractéristique $p$, on prouve que les facteur tordus sont compatibles avec la correspondance de Langlands. Comme conséquence, on prouve une propriété de stabilité des facteurs-$\gamma$ par torsion d'un caractère assez ramifié. De plus, on utilise les résultats de compatibilité des coefficients locaux de Langlands-Shahidi avec la philosophie de Deligne-Kazhdan sur le corps locaux proches et on prouve que les facteurs-$\gamma$, fonctions-L et facteurs $\epsilon$ de carrés extérieur et symétrique tordus sont préservés.

Construction et étude d'un avatar schématique et fonctoriel des immeubles de Tits, puis description d'un formalisme Tannakien pour les immeubles de Bruhat-Tits.

Pour $G$ groupe réductif $p$-adique, nous associerons des $\mathrm{R}$-groupes analytiques, généralisant les $\mathrm{R}$-groupes usuels, aux représentations irréductibles essentiellement de carré intégrable non tempérées des sous-groupes de Levi de G. Nous utiliserons ces $\mathrm{R}$-groupes pour définir une généralisation de la notion de torsion des représentations par des caractères non ramifiés. Puis nous montrerons qu'une correspondance à la Langlands des représentations tempérées de $G$, compatible à la torsion par caractères non ramifiés précédemment définie, s'étend de manière unique en une correspondance de Langlands pour toutes les représentations de $G$ également compatible à la torsion par caractères non ramifiés.

We will start by reviewing a conjecture of Beilinson relating the regulator of a higher Chow group of a variety $X$ defined over $\mathbb Q$ with the special value of an L-function attached to $X$. Then I will consider the case where $X$ is a Shimura variety attached to an orthogonal group $G$. I will briefly review the notion of a theta lift and will explain how to construct certain currents on $X$ related to regulator maps as regularised theta lifts for the dual pair $(\operatorname{Sp}_4,G)$. We will show that in some cases these currents can be evaluated and that the result involves the special value of a certain automorphic L-function times certain a certain period on $\operatorname{Sp}_4$.

Étant donné un groupe réductif $G$ sur $\mathbb{Q}_p$ on classifie les $G$-torseurs sur la courbe définie et étudiée dans nos travaux en commun avec J.-M. Fontaine. On formule ensuite une conjecture du type Langlands géométrique faisant intervenir des faisceaux pervers sur le champ des $G$-torseurs sur cette courbe.

Jacquet et Rallis ont proposé une approche à la conjecture globale de Gan-Gross-Prasad pour les groupes unitaires via une formule des traces relative. On présentera un processus de troncature à la Arthur pour la formule des traces relative de Jacquet-Rallis. On décrira les expansions géométriques et spectrales pour le groupe unitaire et linéaire. On donnera aussi des formules explicites dans certains cas.

I will present a recent proof of Waldspurger's formula relating the square of a period integral of a PGL(2)-automorphic form over a torus to the central value of an L-function. The feature of this proof is a non-standard comparison of relative trace formulas, where scalar transfer factors are replaced by transfer operators. This proof is motivated by very general conjectures about periods and the spectral decomposition of relative trace formulas, which suggest the existence of "relative functoriality" between the trace formulas.

Soient $F$ un corps $p$-adique, $D$ une algèbre centrale de dimension finie sur $F$, $G=GL_m(D)$ et $\mathcal{R}(G)$ la catégorie des représentations $l$-modulaires lisses de $G$ avec $l\neq p$. Il existe une décomposition de $\mathcal{R}(G)$ en blocs (sous-catégories pleines et indécomposables) et on est intéressé par la description de ces blocs. Le but de cet exposé est de ramener la description d'un bloc quelconque à celle d'un bloc de niveau $0$ en construisant des équivalences de catégories. À la fin, je donnerai des idées pour se ramener au bloc unipotent.

Soit $\mathbf{G}$ un groupe classique défini sur le corps des réels, quasi-déployé. Pour $\psi$ un paramètre d'Arthur de $\mathbf{G}$ on sait associer une représentation irréductible $\Pi_{\psi}$ de $GL(N,\mathbb{R})$ en généralisant la correspondance de Langlands comme expliqué par J. Arthur. Le but de cet exposé est de montrer que les paquets d'Arthur sont les paquets d'Adams-Johnson pour tout morphisme $\psi:W_{\mathbb{R}}\times SL(2,\mathbb{C}) \rightarrow^{L}G$, à caractère infinitésimal régulier, qui s'écrit sous la forme $\psi_{1}\oplus\psi_{2}$, somme de deux morphismes avec $\Pi_{\psi_{1}}$ un caractère de $GL(N_{1},\mathbb{R})$ ou l'induite d'un caractère de $GL(N_{1}-1,\mathbb{R})$ avec un caractère de $\mathbb{R}^{\ast}$ et $\psi_{2}$ de restriction à $SL(2,\mathbb{C})$ une somme de représentations irréductibles ayant toutes une dimension inférieure où égale $4$.

We consider representations of $GL_n(F)$, where $F$ is a $p$-adic field, over $l$-adic coefficient rings for $l$ not equal to $p$. The points of the coefficient ring parametrize a family of representations. We discuss the question of attaching Rankin-Selberg local Euler factors to certain admissible generic families in way that interpolates the classical local factors at each point, as well as their functional equation and gamma factor. With remaining time we discuss the relationship to the conjectural local Langlands correspondence in families of Emerton-Helm.

Je parlerai d'un travail en commun avec Christophe Breuil et Eugen Hellmann. En appliquant la méthode de patching aux variétés de Hecke de groupes unitaires compacts, nous montrons que l'existence de points compagnons $p$-adiques associés à une représentation automorphe cuspidale est une conséquence de conjectures classiques de modularité.

J'expliquerai la preuve d'une conjecture de Breuil et Herzig sur l'unicité de certaines représentations continues unitaires d'un groupe réductif $p$-adique dont les constituants sont des séries principales. La démonstration repose sur le calcul des extensions entre séries principales et le fait qu'il n'existe pas de "chaîne" de trois séries principales distinctes. Pour montrer ces deux résultats, je calculerai partiellement le delta-foncteur des parties ordinaires dérivées d'Emerton relatif à un sous-groupe parabolique sur une série principale.

Attached to the pro-$p$-radical of an Iwahori subgroup, we have a Hecke algebra, called pro-$p$-Iwahori Hecke algebra. We give a classification of modulo $p$ irreducible representations of this algebra in terms of supersingular representations. The result is very similar to the group case. The main tool to study is the structure theory of the algebra developed by Vignéras.

Soit $F$ un corps à multiplication complexe et $\bar{r} \colon G_F \to GL_n(\overline{\mathbb{F}}_p)$ une représentation galoisienne continue. Si $\bar{r}$ est modulaire, Gee propose une relation étroite entre les systèmes locaux produisant une telle $\bar{r}$ et les poids de Hodge-Tate des relèvement cristallins de $\bar{r}$. Dans cet exposé, nous décrivons les systèmes locaux qui peuvent admettre des sous-espaces de Hecke isotypiques pour $\bar{r}$, dans le cas où $\bar{r}$ est ordinaire aux places de $F$ divisant $p$ et modulaire par rapport à un groupe unitaire compact à l'infini, de rang $2$ et déployé en $p$. On vérifie que, dans la plupart de cas, ces systèmes locaux sont ceux prévus par les conjectures de Gee et on discutera en détail le cas où la technique d'élimination de poids ne permet pas d'exclure un poids supersingulier ``supplémentaire''. Il s'agit d'un travail en cours avec Chol-Park à Bonn.