Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

Soit $F/\mathbb Q$ un corps de nombres où $p$ est non ramifié et soit $r \colon \mathrm{Gal}(\bar F /F) \to \mathrm{GL}_3(\mathbb Q_p)$ une représentation Galoisienne continue. Supposons que $r$ est automorphe pour $\mathrm{U}(3)$ et que les paramètres $p$-adiques locaux de $r$ en $p$ sont modérés, potentiellement Barsotti-Tate à poids de Hodge-Tate $(0, 1, 2)$. La conjecture de compatibilité locale/globale du programme de Langlands $p$-adique prévoit que la composante $r$-isotypique de la cohomologie entière des variétés de Shimura associés aux groupes unitaires, avec niveau infini en $p$, ne dépends que des paramètres $p$-adiques locaux, d’une manière explicite. Dans cet exposé nous démontrons plusieurs cas de la conjecture lorsque le niveau en $p$ est modéré, sous des hypothèses techniques faibles sur la réduction $\mod p$ de $r$ (généricité des paramètres locaux $\mod p$), avec une attention particulière aux structures entières obtenues par la cohomologie étale globale sur le système local modéré portant la représentation $r$. Les preuves reposent sur une analyse exhaustive des anneaux de déformation Galoisiens locaux, la description de leur fibre spéciale en termes automorphes via la conjecture Breuil-Mézard et une classification des réseaux entiers des $K$-types, obtenue par des méthodes locaux et globaux. Il s’agit d’un travail en commun avec Dan Le, Viet-Bao Le Hung et Brandon Levin.

Il s'agit d'un travail avec C. J. Bushnell. Soit $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien. La théorie du corps de classes identifie les caractères du groupe de Galois absolu $G_F$ de $F$ aux caractères (d'ordre fini) du groupe multiplicatif $F^\ast$. Cette identification préserve les exposants des conducteurs d'Artin, de sorte que deux caractères de $G_F$ ayant même restriction à un sous-groupe de ramification d'indice $i$ entier (en numérotation supérieure) s'identifient à deux caractères de $F^\ast$ ayant même restriction au groupe des unités $U_F^i$. Nous étendons ces résultats au cadre de la correspondance de Langlands pour $\mathrm{GL}(n)$, qui associe à une représentation irréductible de degré $n$ de $G_F$ une représentation supercuspidale de $\mathrm{GL}(n,F)$. Dans ce cadre plus général apparaît une fonction qui relie la ramification du côté $\mathrm{GL}(n)$ et celle pour $G_F$. Cette fonction, nouvelle et intéressante, n'est pas si facile à calculer, mais nous le pouvons pour les représentations construites par Carayol.

Ariki et Ginzburg, en se basant sur les travaux de Zelevinsky sur les variétés orbitales, ont démontré que les multiplicités dans une représentation induite sont données par les valeurs en $1$ des polynômes de Kazhdan-Lusztig associés aux groupes symétriques. Dans cette exposé, on va revenir aux variétés orbitales et démontrer une conjecture de Zelevinsky. Si le temps le permet, j’expliquerai comment déduire le calcule des multiplicités de notre résultats.

La correspondance locale de Langlands relie représentations de Weil-Deligne de dimension $n$ de $\mathbb{Q}_p$ et représentations lisses irréductibles de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$. En théorie de Hodge $p$-adique, un invariant additionnel important apparaît côté Weil-Deligne : la filtration de Hodge. Y a-t-il une incarnation de cette filtration côté $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$ ? On énoncera une conjecture reliant filtrations de Hodge et extensions de représentations localement analytiques de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$ par la représentation lisse ci-dessus (souvent tensorisée par une représentation algébrique de $\mathrm{GL}_n$). On illustrera cette conjecture par l'examen de quelques exemples, en particulier celui - nouveau - d'une représentation de $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)$ semi stable non cristalline de dimension $3$.

In this talk I will explain some results relating critical values of L-functions of cohomological automorphic representations of unitary groups over CM fields and periods. I will explain a formula expressing the critical values in terms of Petersson norms of holomorphic forms, and we explain the link with Deligne's conjecture, which predicts that these have a factorization in terms of quadratic periods, depending on the signature of the unitary group. If time allows, I will explain some applications recently developed in a joint work with D. Barrera Salazar.

Travail commun en cours avec Colette Mœglin (IMJ). Notre but est d'expliciter autant que faire se peut les paquets définis par Arthur pour les groupes classiques aux places archimédiennes via des transferts endoscopiques. Nous expliquerons comment l'on peut espérer se ramener au cas des paquets unipotents "de bonne parité". Ceux-ci sont encore mystérieux aux places réelles, mais pour les places complexes, ils sont connus grâce aux travaux de Barbasch-Vogan. De plus, pour les places complexes, les paquets généraux sont obtenus par induction parabolique préservant l'irréductibilité à partir des paquets unipotents, et nous obtenons ainsi des résultats complets et totalement explicites. Pour les places réelles, nous disposons de résultats encore partiels, complétant ceux obtenus précédemment en collaboration avec N. Arancibia et qui montrent que les paquets généraux sont obtenus à partir des paquets unipotents par une combinaison d'induction parabolique et d'induction cohomologique. Ces résultats suffisent à montrer que les paquets de représentations avec de la cohomologie définis par Adams et Johnson coïncident bien ceux d'Arthur.

La formule des traces relative de Jacquet-Rallis est un outil prometteur pour démontrer les conjectures globales de Gan-Gross-Prasad pour les groupes unitaires. Les résultats obtenus jusqu'à présent par cette méthode utilisent une variante simple de la formule des traces et introduisent ipso facto des hypothèses locales sur les représentations considérées. Dans cet exposé, nous expliquerons comment on peut étendre la comparaison des intégrales orbitales régulières à tous les termes géométriques qui apparaissent dans la formule des traces relatives générale. (Travail en commun avec Michał Zydor).

Let $\mathbf{G}$ be a quasi-split classical group (special orthogonal, symplectic, unitary) over a $p$-adic field of odd residual characteristic. We describe the endoscopic classification, proved by Arthur and Mok, of certain supercuspidal representations and their L-packets of $\mathbf{G}$. These representations, whose inducing types can be described by the theory of Bushnell-Kutzko, Stevens, or Yu, correspond to Langlands parameters related to characters of elliptic maximal tori of $\mathbf{G}$, under some regularity and tameness conditions. In order to describe this representation-character correspondence explicitly, we associate to each character another character defined on the same torus, called an amending character in this talk. These amending characters play a similar role as the Bushnell-Henniart rectifying characters in the essentially tame local Langlands correspondence for general linear groups, where both kinds of characters carry information about the inducing types. For classical groups, our amending characters further carry information about the embeddings of the elliptic maximal tori into $\mathbf{G}$.

We will give a historical overview of special value formulas for Rankin-Selberg $p$-adic L-functions and their applications to rational points on elliptic curves, culminating in the $p$-adic Waldspurger formulas first investigated by Bertolini, Darmon, and Prasanna, and some recent generalizations.

We construct a new Euler system from a collection of special $1$-cycles on certain Shimura $3$-folds associated to $\mathrm{U}(2,1) \times \mathrm{U}(1,1)$ and appearing in the context of the Gan-Gross-Prasad conjectures. We study and compare the action of the Hecke algebra and the Galois group on these cycles via distribution relations and congruence relations obtain adelically using Bruhat-Tits theory for the corresponding buildings. If time permits, we explain some potential arithmetic applications in the context of Selmer groups and the Bloch-Kato conjectures for Galois representations associated to automorphic forms on unitary groups.

I will report on recent joint work with T. Haines and L. Li. We conjecture a stronger form of the expectation that Frobenius acts semisimply on the cohomology of varieties over finite fields. We show that the stronger conjecture implies that the decomposition holds in a strong form if the ground field is finite. We verify that this stronger form of the decomposition theorem holds for convolution morphisms à-la-Luzstig.

We show a new approach to overconvergent modular forms and overconvergent Eichler-Shimura map which uses crucially the recent work of Scholze on perfectoid Shimura varieties. This gives a non-archimedean analogue of $cz+d$ approach to classical modular forms. This is a joint work with David Hansen (Columbia) and Christian Johansson (IAS).

Let $\mathbb{F}$ be a non-Archimedean local field and $G$ the $\mathbb{F}$-points of a reductive group. The locally summability of the character of an admissible complex representation has been proved in the case the field $\mathbb{F}$ has characteristics $0$ by Harish-Chandra. We are currently trying to generalize this result to all non-Archimedean local fields. We get an upper-bound for the absolute value of the character in terms of the Bruhat-Tits building, using an alternative description of the character in terms of the building by Meyer and Solleveld. By a proof that uses that upper-bound, for tori $T$ containing a maximal split torus the character is locally summable on $^GT$, the $G$-orbit of $T$ under conjugation. At the end we will discuss some unsolved problems concerning the other tori regarding this approach.

Je présente le résultat d'un travail en commun avec A. Iovita et J. Tilouine. On étudie l'image de la représentation de Galois associée à une famille $p$ adique de formes modulaires pour $\mathrm{GL}_{2,\Q}$, finie au dessus d'un disque suffisamment petit dans l'espace des poids. On démontre qu'une algèbre de Lie associée à cette image contient une sous-algèbre de congruence, en généralisant le travail de H. Hida et de J. Lang dans le cas des familles ordinaires. Le niveau de cette algèbre de congruence s'interprète en termes des points CM de la famille. J'explique comment notre méthode peut s'adapter au cas des familles de formes modulaires de Siegel.

After reviewing a classification theorem of irreducible admissible modulo $p$ representations, I will give some applications about right/left adjoint functors of parabolic inductions and smooth duals. This is a joint work with Florian Herzig, Guy Henniart and Marie-France Vigneras.

À la suite de nombreux auteurs, Fargues a construit sous une certaine condition sur l'invariant de Hasse ce que l'on appelle un sous-groupe canonique, qui relève le noyau de Frobenius, et cette construction est valable dans le cas d'une variété de Shimura PEL, sous la condition que le lieu ordinaire est non vide. Dans le cas où le lieu ordinaire est vide, nous définirons la filtration canonique, qui est une suite croissante de sous-groupes dont la longueur dépend de la donnée de Shimura (PEL), sur le lieu $\mu$-ordinaire et nous tenterons d'expliquer comment cette filtration surconverge sur un voisinage strict (explicite) du lieu $\mu$-ordinaire.

Recent work of Ollivier-Schneider shows that the pro-$p$-Iwahori-Hecke $\bar{\mathbb{F}}_p$-algebra of a split $p$-adic reductive group $G$ has infinite global dimension (at least generically). We will review some of these results, and show that when $G$ has small rank, the simple modules of infinite projective dimension are precisely the supersingular ones.

Michael Harris a défini les périodes arithmétiques automorphes pour certaines représentations cuspidales de $\mathrm{GL}_{n}$ sur corps quadratiques imaginaires en 1997. Il a aussi montré que les valeurs critiques de fonctions L automorphes pour $\mathrm{GL}_{n}\times \mathrm{GL}_{1}$ peuvent être interprétées en termes de ces périodes. Ses travaux sont généralisés récemment sous deux aspects. D'abord, les périodes arithmétiques automorphes ont étés définies sur corps CM arbitraires. De plus, on a montré que les valeurs critiques de représentations automorphes pour $\mathrm{GL}_{n}\times \mathrm{GL}_{n'}$ sont liées avec ces périodes dans beaucoup de cas. Si le temps le permet, on va voir que nos résultats sont compatibles avec la conjecture de Deligne.

I will explain the Gan-Gross-Prasad conjecture for $\mathrm{U}(n) \times \mathrm{U}(n+1)$ and the Jacquet-Rallis relative trace formula approach. I will explain a simple observation which enables us to remove the archimedean conditions in a previous result of Wei Zhang.

Étant donnés un corps localement compact non archimédien $F$ de caractéristique résiduelle $p$, la correspondance de Jacquet-Langlands locale est une bijection entre la série discrète de $\mathrm{GL}(n,F)$ et celle d'une forme intérieures $G$, caractérisée par une identité de caractères. Remplaçant formellement le corps des nombres complexes par une clôture algébrique du corps des nombres $\ell$-adiques pour un nombre premier $\ell$ différent de $p$, on a une notion de représentation $\ell$-adique entière de $G$, que l'on peut réduire modulo $\ell$. Nous montrons que la correspondance de Jacquet-Langlands locale est compatible aux congruences modulo $\ell$, c'est-à-dire que deux représentations $\ell$-adiques entières de la série discrète de $G$ ont des réductions modulo $\ell$ isomorphes si et seulement si c'est le cas de leurs transferts à $\mathrm{GL}(n,F)$. Il s'agit d'un travail en commun avec Alberto Minguez.

The Whittaker model is a very useful tool in the representation theory of reductive groups and in automorphic forms. However, it is known that only the largest representations have Whittaker models. In order to overcome this problem, for other representations various kinds of degenerate or generalized Whittaker models are considered since the 80s. Over non-archimedean fields, Moeglen and Waldspurger characterized the existence and multiplicities of these models in terms of the wave-front set. For $\mathrm{GL}(n, F)$ they can be also described in terms of the Bernstein-Zelevinsky derivatives. Over the Archimedean fields, only partial results are known in this direction. I want to talk about these partial results, including my recent works with Siddhartha Sahi (and sometimes others) on degenerate Whittaker models, Archimedean Bernstein-Zelevinsky derivatives and the connection between them. Some of these results are new also over $p$-adic fields. Some of the results also have adelic analogues.

We explain how to construct Galois representations attached to automorphic representations of the general symplectic group over a totally real number field, under local simplifying hypotheses. This is joint work with Sug Woo Shin.