Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

Il est maintenant classique que la cohomologie étale $l$-adique des revêtements du demi-plan $p$-adique encode simultanément les correspondances de Langlands et Jacquet-Langlands locales pour $\mathrm{GL}_2$. Nous allons expliquer ce qu'il en est de la cohomologie étale $p$-adique et, en particulier, montrer que celle-ci encode une partie de la correspondance de Langlands locale $p$-adique (pour $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$). Il s'agit d'un travail en commun avec Gabriel Dospinescu et Wieslawa Niziol.

Nous prouvons un résultat de compatibilité local-global pour certaines représentations galoisiennes associées aux représentations automorphes cuspidales d'un groupe unitaire compact à l'infini. Plus précisément nous prouvons que si la représentation galoisienne est cristalline en $p$, la position de la filtration de de Rham dans la stratification de Schubert est déterminée par le socle d'une certaine représentation localement analytique du groupe $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Q}_p)$. J'expliquerai comment ce résultat est lié à un analogue en égale caractéristique $0$ de la conjecture de Breuil-Mézard. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Christophe Breuil et Eugen Hellmann.

Harish-Chandra has given a simple and explicit classification of the discrete series representations of real reductive groups. We will describe a very similar classification that holds for a large proportion of the supercuspidal representations of $p$-adic reductive groups (which we may call regular). The analogy runs deeper: there is a remarkable parallel between the characters of regular supercuspidal representations and the characters of discrete series representations of real reductive groups. Guided by this parallel we will give an explicit construction that assigns to each supercuspidal Langlands parameter an L-packet consisting of (not necessarily regular) supercuspidal representations.

In this talk I will give an overview over the theory of local models. This overview will include a discussion of the 2-adic case, where a general theory is not yet developed, and I will cover some of difficulties encountered there. The main examples are the case of a split orthogonal group and the unitary ramified case. In these cases, I will give a definition of “naive” (non-flat) local models whenever the dimension is even and suggest some conditions to describe the flat closure. In the unitary case, I will show that the local model is Cohen-Macaulay (and hence flat) under some mild assumptions.

In his most recent book, Arthur defines A(rthur)-packets for classical groups. In the particular case of real classical groups an alternative approach to the definition of A-packets has been known since the early 90s. This approach is due to Adams-Barbasch-Vogan and relies on sheaf-theoretic techniques instead of harmonic analysis. We will report on work in progress, joint with N. Arancibia, towards proving that these two different definitions for A-packets are equivalent.

On décrira un formalisme métrique pour les filtrations de Harder-Narasimhan, qui permet d'énoncer une condition suffisante pour leur compatibilité avec le produit tensoriel. On vérifiera cette condition pour la catégorie des modules de Breuil-Fargues-Kisin à isogénie près.

La formulation précise des conjectures d'Arthur sur les multiplicités automorphes pour un groupe réductif sur un corps de nombres, démontrées dans de nombreux cas, nécessite d'énoncer précisément la correspondance de Langlands locale à toutes les places. Tasho Kaletha a introduit la notion de forme intérieure rigide (locale ou globale) d'un groupe algébrique à cet effet. Cette notion repose sur la construction d'une gerbe galoisienne, analogue de torsion du groupe de Weil en théorie du corps de classes. Je présenterai une construction plus explicite de cette gerbe galoisienne, qui permet notamment de vérifier que toute forme intérieure rigide globale est non ramifiée à presque toutes les places, et de rendre explicite (calculable) la formule de multiplicité.

On discutera la conjecture de modularité des surfaces abéliennes et on expliquera des progrès récents qui reposent en partie sur des familles p-adiques de formes automorphes de poids singulier.

In the study of asymptotic problems with Arthur's trace formula, one needs good bounds on the contribution of the continuous spectrum in order to isolate the discrete contribution. For example, the limit multiplicity property for the discrete spectrum of congruence subgroups can be established when suitable bounds on the logarithmic derivatives of global intertwining operators are known. The task can be split into two parts: control of the global normalizing factors associated to the intertwining operators, which are closely connected to automorphic L-functions, and control of the local normalized intertwining operators. Both problems have been solved in a number of cases, namely for inner forms of $GL(n)$ and $SL(n)$, for the exceptional group $G2$, and for quasi-split classical groups (in the latter case under a technical restriction regarding the local problem). This is joint work with Erez Lapid.

Langlands d’une part et Braverman-Kazhdan de l’autre ont proposé deux approches différentes pour la fonctorialité et l’équation fonctionnelle des fonctions $L$ automorphes. Je vais rappeler leurs idées ainsi qu’en apporter quelques précisions.

On montre que l'induction parabolique préserve l'existence d'un modèle de Shalika pour les représentations de $GL(2n,F)$, quand $F$ est un corps local non archimédien. Lorsque $F$ est de caractéristique 0, on en déduit la classification des représentations génériques de $GL(2n,F$ admettant un modèle de Shalika. Comme corollaire, une telle représentation admet un modèle de Shalika si et seulement si elle est distinguée par un sous-groupe de Levi de type $(n,n)$.

Nous décomposerons l'ensemble des paramètres de Langlands enrichis d'un groupe $p$-adique en séries de Bernstein et associerons à chaque telle série $B'$ une algèbre de Hecke affine généralisée H(B') dont les modules simples sont en bijection avec les éléments de $B'$. Nous illustrerons ces constructions dans le cas d'un groupes classique $G$ et montrerons que si $B'$ correspond via la correspondance de Langlands à une série de Bernstein $B$ de représentations irréductibles de $G$, alors $H(B')$ est Morita équivalente à l'algèbre de Hecke associée à $B$.

Le point de vue de Lusztig sur la théorie de Springer permet à la fois de construire en famille des représentations du groupe de Weyl ainsi que des caractères des groupes réductifs finis. Les deux utilisent de manière fondamentale la théorie des faisceaux pervers. Dans le cas affine, très peu est connu en dehors de la construction de Lusztig d'une action du groupe de Weyl affine sur la homologie des fibres de Springer affines. Dans cette situation, on aimerait disposer d'une théorie des faisceaux pervers adéquate pour construire en famille des représentations du groupe de Weyl affine ou géométriser les caractères de groupes réductifs p-adiques. Dans cet exposé, nous expliquerons, comment on peut répondre à ces questions (tout est en égales caractéristiques). Il s'agit d'un travail en collaboration avec D. Kazhdan.

Soit $E/F$ une extension quadratique de corps $p$-adiques et $H$ un groupe réductif connexe sur $F$. Pour toute représentation irréductible lisse $\pi$ de $H(E)$ et tout caractère $\chi$ de $H(F)$ on pose $m(\pi,\chi):= \dim Hom_{H(F)}(\pi,\chi)$. Une conjecture de Prasad décrit précisément cette multiplicité lorsque $\pi$ est la représentation de Steinberg. Broussous-Courtès et Courtès ont démontré cette conjecture dans le cas où $H$ est déployé et l'extension $E/F$ modérément ramifiée en utilisant la géométrie de l'immeuble. Dans cet exposé, on présentera une preuve de la conjecture de Prasad en général pour les caractère $\chi$ "galoisiens". L'approche est totalement orthogonale à celle de Broussous et Courtès et se base sur une formule intégrale exprimant, lorsque $\pi$ est de carré intégrable, $m(\pi,\chi)$ en fonction du caractère de Harish-Chandra de $\pi$. Cette formule est réminiscente des relations d'orthogonalité d'Arthur et d'une formule de Waldspurger liée à la conjecture de Gan-Gross-Prasad. Comme ces dernières elle découle d'une formule des traces simple adaptée à la situation.

In 2012 it was conjectured by Emerton and Helm that the local Langlands correspondence for GL(n) of a p-adic field (suitably normalized) should interpolate in $\ell$-adic families, where $\ell$ is a prime different from p. Recently, Helm reformulated the conjecture in terms of the existence of an appropriate map from the integral Bernstein center to a Galois deformation ring. This connects moduli spaces and congruences of objects on either side of the correspondence. In this talk we will present recent work (joint with David Helm) showing the existence of such a map and describing its image.

In this talk we explain how to construct the quotient of an infinite-level Lubin-Tate space by the Borel subgroup $B(Q_p)$ of upper triangular matrices in $GL(2,Q_p)$ as a perfectoid space. The motivation for this is as follows. Scholze recently constructed a candidate for the mod p Jacquet-Langlands correspondence and the mod p local Langlands correspondence for $GL(n,F)$, $F/Q_p$ finite. Given a smooth admissible representation $\pi$ of $GL(n,F)$, the candidate for these correspondences is given by the etale cohomology groups of the adic projective space $P^{n-1}$ with coefficients in a sheaf $F_\pi$ that one constructs from $\pi$. The finer properties of this candidate remain mysterious. As an application of the quotient construction one can show that in the case of n=2, $F=Q_p$, and $\pi$ an irreducible principal series representation or a twist of the Steinberg representation, the cohomology $H^i_{et}(P^1,F_\pi)$ is concentrated in degree one.

Les courbes de Shimura sont des courbes algébriques qui possèdent une uniformisation complexe comme quotient du demi-plan de Poincaré par l'action d'un groupe arithmétique. Cherednik a observé, il y a 40 ans, que sous certaines hypothèses ces courbes possèdent aussi une uniformisation p-adique par le demi-plan de Drinfeld. Je vais expliquer une démonstration d'une variante de ce résultat. Il s'agit d'un travail en commun avec S. Kudla et Th. Zink, qui est en relation étroite, comme il se doit ces jours-ci, d'un résultat de P. Scholze.

Soit $F$ un corps local non-archimédien de caractéristique résiduelle $p$. Soit $R=\oplus_{n\geq 0} R_n$, où $R_n$ est le groupe de Grothendieck de représentations lisses complexes de longueur finie de ${\rm GL}(n,F)$. Le $\mathbb{Z}$-module $R$ possède deux bases : l'une formée par les représentations irréductibles de ${\rm GL}(n,F)$, $n \geq 0$ ; l'autre formée par les modules standard. Le matrice de changement de base est triangulaire et ses coefficients peuvent être exprimes en termes de polynômes de Kazhdan-Lusztig. Dans le cas où $\pi$ est une représentation de Speh, Tadi\'c d'abord et puis Chenevier-Renard ont montré que ces coefficients sont $\pm 1$: en fait $\pi$ est le déterminant d'une certaine matrice à coefficients dans $R$. Ce résultat a été généralisé par Lapid-Mínguez pour des représentations en échelle. Si on s'intéresse à des représentations $\ell$-modulaires, $\ell \neq p$, une des différences principales est que le notions de représentation cuspidale et représentation supercuspidale diffèrent. Dans cet exposé je vais montrer qu'une formule de déterminant à coefficients dans un certain complété de $R$ permet de calculer les coefficients des représentations cuspidales dans la base des modules standard de support supercuspidal. En particulier on peut expliciter le noyau du morphisme de reduction modulo $\ell$ et, comme application, on montrera que le morphisme de Langlands-Jacquet de Badulescu se réduit bien modulo $\ell$. C'est un travail en collaboration avec V. Sécherre.

La formule de Gross-Zagier relie la hauteur d'un point de Heegner sur une courbe elliptique à la dérivée d'une fonction L de Rankin-Selberg. Elle admet des analogues, complexes ou p-adiques, et en générale conjecturales, pour formes de Hilbert poids quelconque. Ici je vais expliquer la construction d'un "cycle de Heegner universel" P : c'est une section d'un faisceau de groupes de Selmer sur la variété de Hecke E pour une forme intérieure de GL(2)xU(1). Je vais proposer une formule pour la hauteur p-adique de P en termes de fonctions L p-adiques et expliquer la preuve sur la partie ordinaire de E. On obtient des applications à la conjecture de BSD p-adique et à la théorie d'Iwasawa pour les forme de Hilbert.

La formule de Riemann-Roch arithmétique est un résultat fondamental en géométrie d'Arakelov, qui raffine là la fois la formule en géométrie algébrique et en géométrie différentielle. Je parlerai du cas des surfaces de Hilbert tordues, pour lesquelles la formule permet de calculer le volume du réseau des formes de Hilbert de poids parallèle 2, par rapport à la norme de Petersson, en termes de classes charactéristiques "arithmétiques" et un invariant spectral appelé torsion analytique holomorphe. La correspondance de Jacquet-Langlands, pour les formes holomorphes et pour les formes non-holomorphes, implique une compatibilité de la formule de Riemann-Roch en question pour les surfaces de Hilbert tordues, avec la formule pour une courbe de Shimura non PEL. Il en découle des relations entre leurs classes charactéristiques arithmétiques, qui sont souvent difficiles à calculer, spécialement dans des situations non PEL. Ce projet est né comme un expériment pour tester des idées qui pourraient permettre, plus tard, de démontrer une formule de Riemann-Roch arithmétique pour les surfaces modulaires de Hilbert "non-compactes", pour lesquelles les résultats de la théorie d'Arakelov, tel qu'on la connaît, ne s'appliquent plus. Il s'agit d'un travail en commun avec Siddarth Sankaran.

In this talk, I will explain a p-adic Waldspurger formula proved by Bertolini– Darmon–Prasanna under the Heegner condition, and in full generality later by Liu–Zhang–Zhang. I will start with a classical Waldspurger formula on complex modular forms and a Gross–Zagier formula on rational modular forms, then define p-adic modular forms, p-adic L-functions, p-adic period integrals, and finally state a p-adic Waldspurger formula.

Beyond Endoscopy is a strategy proposed by R. Langlands in 2001 to prove Functoriality, a key conjecture of the Langlands Program. Recent work of S.A. Altug completes the 'preliminary analysis' first considered by Langlands. In this talk, I will outline these ideas, following J. Arthur's elaboration of them, and discuss a framework for a tempered form of the Arthur-Selberg trace formula. I will also report on generalizing certain aspects of Altug's analysis to $\mathrm{GL}(n)$. In particular, we show that the use of the approximate functional equation to smooth singularities of real orbital integrals generalizes to this case. This portion is joint work with O.E. Gonzalez, C.H. Kwan, S.J. Miller, and R. Van Peski.

Etant donné un espace localement symétrique $Y$ nous nous intéressons aux propriétés de localisation des suites de fonctions propres de l'anneau des opérateurs différentielles invariants. Lorsque $Y$ est de type non compact, les principes de chaos quantique suggèrent que de tels états propres devraient se délocaliser. L'une des expressions concrées de ce comportement attendu est que les normes sup d'une suite générique de fonctions propres $L^2$ normalisées devraient être aussi petites que possible. On appelle ces suites tempérées, en analogie avec la conjecture de Ramanujan dans la théorie des formes automorphes. On aimerait savoir sous quelles conditions l'espace $Y$ admet une suite non tempérée de fonctions propres, c'est-à -dire, telle que les normes sup croissent comme une puissance de la valeur propre. Nous donnons une réponse à  cette question dans le cas arithmétique, en fonction des propriétés de récurrence des opérateurs de Hecke. En fait, nos techniques, comme celles précédentes, nous permettent de saisir la taille de certaines périodes automorphes anisotropes à  travers une comparaison de formules des traces, et le critère qui assure la présence de suites non tempérées peut se lire sur la mesure de Plancherel d'une variété symétrique $G/H$ sous-jacente. Il s'agit d'un travail en commun avec Simon Marshall.

Le foncteur $D_{\mathrm{cris}}$ de Fontaine nous permet de passer des représentations crystallines aux isocrystaux. Pour un groupe réductif $G$, on veut étudier la réduction des réseaux dans une représentation cristalline avec $G$-structure $V$, vers les cristaux avec $G$-structure contenus dans $D_{\mathrm{cris}}(V)$. En utilisant la théorie des modules de Kisin, on peut donner une description de cette réduction en termes du groupe $G$, dans le cas où la représentation $V$ est $G$-ordinaire. Pour cela, il faut d'abord généraliser la construction de la filtration de Harder-Narasimhan des groupes $p$-divisibles, donnée par Fargues, aux modules de Kisin.

The classical Deligne-Lusztig theory gives a geometric tool to construct representations of the finite group of rational points of a reductive group over a finite field. We develop an affine version of this, by constructing families of extended affine Deligne-Lusztig varieties attached to a reductive group $G$ over a local field. The cohomology of (certain covers of) these varieties conjecturally allows to realize the local Langlands correspondence and the automorphic induction of characters of maximal tori in $G$. We show this conjecture for $G = \mathrm{GL}_2$ and at most tamely ramified tori (and all characters of arbitrary deep level).