Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

Soit $X$ une courbe projective lisse et~$G$ un groupe réductif au dessus d'un corps de base~$k$. Notre objet d'étude est la catégorie $D(\mathrm{Bun}_G)$—la catégorie dérivée des faisceaux constructibles sur $\mathrm{Bun}_G$, le champ classifiant les $G$-fibrés sur~$X$. Pour un champ algébrique~$Y$ de type fini, la dualité de Verdier définit une équivalence $D(Y)^{op}\rightarrow D(Y)$. Notre champ $\mathrm{Bun}_G$ est localement de type fini, mais il n'est pas quasi-compact. Pour un champ algébrique quelconque~$Y$ avec cette propriété on s'attendrait pas d'avoir la dualité de Verdier sur $D(Y)$. Cependant, dans le cas spécifique de $\mathrm{Bun}_G$ on a une structure additionnelle, qui est le foncteur "miraculeux" de Drinfeld. En utilisant ce foncteur, et son interaction avec le foncteur d'Eisenstein, on arrive à établir la dualité de Verdier pour $\mathrm{Bun}_G$.

I will introduce a new paradigm for comparing relative trace formulas, in order to prove instances of (relative) functoriality and relations between periods of automorphic forms and $L$-functions. More precisely, for a spherical variety $X=H\backslash G$ of rank one, I will prove that there is an explicit "transfer operator" which transforms the orbital integrals of the relative trace formula for $X \times X/G$ to the orbital integrals of the Kuznetsov formula for $GL(2)$ or $SL(2)$, equipped with suitable non-standard test functions. The operator is determined by the L-value associated to the square of the H-period integral, and the proof uses a deep theory of Friedrich Knop on the cotangent bundles of spherical varieties, viewed as Hamiltonian manifolds.

Soit $X_{1}$ une courbe projective lisse et géométriquement connexe sur un corps fini $\mathbb{F}_{q}$. Soit $X$ le changement de base de $X_{1}$ à une clôture algébrique de $\mathbb{F}_{q}$. L’endomorphisme de Frobenius de $X$ permute l’ensemble des classes d’isomorphie des systèmes locaux $\ell$-adiques ($\ell\nmid q$) irréductibles de rang donné sur $X$. En 1981, Drinfeld a calculé le nombre des points fixes de cette permutation dans le cas du rang 2. Curieusement, ce nombre ressemble à celui des $\mathbb{F}_q$-points d’une variété sur $\mathbb{F}_q$. Dans cet exposé, nous généralisons le résultat de Drinfeld aux rangs supérieurs en reliant ce nombre au nombre des fibrés de Higgs stables. Notre méthode est purement automorphe, en effet on le fait en utilisant la formule des traces d'Arthur.

We begin by reviewing some of the main differences between automorphic forms on infinite dimensional loop groups (or affine Kac-Moody groups) and the usual finite-dimensional theory. After this, we will explain (mostly in the function field setting) a generalization of the Langlands-Shahidi method that aims to analyze L-functions of finite-dimensional groups via Eisenstein series on infinite-dimensional ones.

I will discuss a vanishing theorem for singular/etale cohomology with $\mathbb{F}_p$-coefficients as one takes the direct limit over the tower of Siegel modular varieties with $\Gamma_1(p^n)$-level structure. I will focus on the geometry that goes into the proof; if there is time I will talk about an application to Scholze's construction of Galois representations for torsion classes. This is joint work with Caraiani, Gulotta, Hsu, Mocz, Reinecke and Shih.

Dans cet exposé, on étudie les fibrés automorphes en caractéristique $p$ sur les variétés de Shimura. Par exemple, on souhaite déterminer l'ensemble des poids qui admettent des formes automorphes modulo $p$. Le champ des $G$-zip de Moonen-Pink-Wedhorn-Ziegler est utile pour répondre à cette question car il possède lui-même une famille de fibrés vectoriels qui correspondent aux fibrés automorphes usuels. On peut alors se poser la même question pour ce champ.

Recently Alper, Hall and Rydh gave general criteria when a moduli problem can locally be described as a quotient and thereby clarified the local structure of algebraic stacks. We report on a joint project with Jarod Alper and Daniel Halpern-Leistner in which we use these results to show general existence results for good coarse moduli spaces. In the talk we will focus on two aspects that illustrate how the geometry of algebraic stacks gives a new point of view on classical methods. Namely we explain a version of Hilbert-Mumford stability and then show how Langton's proof of semistable reduction for coherent sheaves on projective varieties can be reformulated in terms of geometry. This allows to prove semistable reduction for an interesting class of moduli problems.

For constructing integral canonical models of Shimura varieties as achieved by Kisin-Pappas for parahoric level a key construction is provided by extending a torsor under a parahoric group scheme on the punctured spectrum of Breuil-Kisin's ring $W(k)[[u]]$ to the whole spectrum. Namely, this allows a crystalline realization of the parahoric group scheme in question and therefore a study of the local structure of the integral model by deformation theory for p-divisible groups. We want to discuss analogous results on extending torsors on the punctured spectrum of $A_\mathrm{inf}$ and present some applications to mixed characteristic affine Grassmannians.

Les séries théta associées à des réseaux euclidiens sont une source bien connue de fonctions modulaires holomorphes. Dans le cas des réseaux avec forme quadratique indéfinie, la procédure des majorants de Siegel conduit à des fonctions modulaires mais non holomorphes. En signature lorentzienne $(1,n-1)$,Zwegers construit des séries theta holomorphes en restreignant la somme à un certain cone à l'extérieur du cone de lumière; et caractérise leurs propriétés modulaires au moyen d'une "complétion modulaire" obtenue en remplacant la fonction caractéristique du cone par une fonction erreur [arXiv:1606.05495]. Cette construction a été à la base du récent progrès sur les séries theta faussement modulaires de Ramanujan. Dans cet exposé, je décrirai l'extension de cette construction au cas de signature arbitraire $(r,n-r)$ que nous avons développée en collaboration avec S. Alexandrov, S. Banerjee et J.Manschot. Les techniques sont issues de nos travaux sur les espaces de modules en théorie des cordes mais aucune familiarité avec ce domaine ne sera nécessaire. Si le temps le permet, je mentionnerai aussi les récents travaux de Kudla et Funke, qui relient cette construction aux séries theta de Kudla-Millson.

I will expain how one can compute the p-adic etale and pro-etale cohomologies of the Drinfeld half-space of any dimension. The main input is a new comparison theorem for the $p$-adic pro-etale cohomology of p-adic Stein spaces. This is a joint work with Pierre Colmez and Gabriel Dospinescu.

Soit $F$ une extension finie de $F_p$ ou de $Q_p$ et $G$ le groupe des points $F$-rationnels d'un groupe réductif connexe $\bf G$ sur $F$. Lorsque $F$ est fini, $G$ admet des représentations irréductibles supercuspidales sur le corps des nombres complexes $\bf C$ (Kret) et n'en admet pas sur $\overline{F}_p$. Supposons maintenant que $F$ est $p$-adique. Alors $G$ admet des représentations irréductibles admissibles supercuspidales sur $\bf C$ (Kret, Beuzart). Si $F\neq Q_p$ et $G =GL(2,F)$, il y en a trop sur $\overline F_p$ (on ne sait pas les classer) pour formuler une conjecture locale de Langlands modulo $p$ (Breuil-Paskunas). Des représentations irréductibles admissibles supercuspidales (i.e. supersingulières) de $G$ sur $\overline F_p$ ont été construites pour certains $\bf G$ de $F$-rang $1$ (Abdellatif, Koziol, Koziol-Xu). Nous pouvons montrer que 1) $G$ admet des représentations irréductibles admissibles supercuspidales sur un corps commutatif $C$ de caractéristique $c$, si c'est vrai lorsque $\bf G$ absolument simple adjoint et $C=\bf C$ si $c\neq p$, $C$ un corps fini si $c=p$, et que 2) $G$ admet des représentations irréductibles admissibles supercuspidales (i.e. supersingulières) sur $F_p$, si $\bf G$ est absolument simple adjoint de $F$-rang $>1$ et non de type $A$.

Dans cet exposé nous nous intéressons à décomposer la catégorie des représentations lisses (de niveau 0) d'un groupe $p$-adique à coefficients dans $\overline{\mathbb{Z}}_{\ell}$ en un produit de sous-catégories. Nous construirons ces dernières à partir de l'immeuble de Bruhat-Tits et de la théorie de Deligne-Lusztig. Nous les relierons pour finir, à la correspondance de Langlands locale.

Soit $F$ un corps local non archimédien et $G$ le groupe des $F$-points d'un groupe réductif connexe défini sur $F$. L'étude des représentations (lisses complexes) de $G$ fait intervenir plusieurs objets d'origines variées, parmi lesquels comptent notamment l'immeuble de Bruhat-Tits du groupe et les algèbres de Hecke (vues comme algèbres d'entrelacements isomorphes à certaines algèbres de convolution). Dans l'espoir de comprendre les représentations de groupes de Kac-Moody, qui sont une généralisation naturelle des groupes réductifs, il semble pertinent de s'intéresser à l'existence de généralisations adéquates des objets sus-mentionnés. Depuis les travaux de Rousseau et de ses collaborateurs, on sait définir une généralisation pertinente des immeubles (ce sont les masures), ainsi qu'une version ad hoc de l'algèbre de Hecke sphérique et de l'algèbre d'Iwahori-Hecke. Cependant, si l'on souhaite pousser l'analogie plus loin pour espérer pouvoir concevoir ces algèbres comme des algèbres d'entrelacement, il est nécessaire de pouvoir associer une algèbre de Hecke à ce qui joue le même rôle que les sous-groupes ouverts compacts de $G$.

Soit $E/F$ une extension quadratique non ramifiée de corps p-adiques. Soit $H$ un groupe algébrique réductif défini et déployé sur $F$ . Je présenterai plusieurs réultats sur une formule des traces locale relative pour $H(E)$ relative à $H(F)$. Il s’agit d’un analogue de la formule des traces locale de J. Arthur sur les groupes. En collaboration avec P. Delorme et S. Souaifi, nous avons décrit la partie géométrique d’une telle formule et donné des applications à l’inversion de certaines intégrales orbitales. Lorsque $H=\mathrm{PGL}(2)$, en collaboration avec P. Delorme, nous obtenons la partie spectrale de cette formule des traces en terme de périodes régularisées normalisées, ceci en nous inspirant des travaux de B. Feigon.

I will talk about the approach in developped with Ginzburg and Travkin to count quiver representations and vector bundles on a curve over a finite field.

Recently Fargues announced a conjecture which attempts to geometrize the (classical) local Langlands correspondence. Just as in the geometric Langlands story, there is a stack of $G$-bundles and a Hecke stack which one can define. The conjecture is based on some conjectural objects, however for a cuspidal Langlands parameter and a minuscule cocharacter, we can define every object in the conjecture, assuming only the local Langlands correspondence. We study the geometry of the non-semi-stable locus in the Hecke stack and as an application we will show the Hecke eigensheaf property of Fargues conjecture holds in the $\mathrm{GL}_2$-case and a cuspidal Langlands parameter.

Soit $G$ un groupe réductif connexe défini sur un corps $p$-adique $F$ et soit $\pi$ une représentation admissible irréductible de $G(F)$. Le développement du caractère de $\pi$ à l’origine permet de définir conjecturalement le front d’onde de~$\pi$. Si celui-ci existe, c’est une orbite unipotente dans $G(\bar{F})$, $\bar{F}$ étant une clôture algébrique de~$F$. Dans l’exposé, on considère le cas où $G = SO(2n+1)$ et $\pi$ est de réduction unipotente. Lusztig a construit et paramétré les représentations possédant cette propriété. On suppose de plus que $\pi$ est soit tempérée, soit l’image d’une représentation tempérée par l’involution d’Aubert- Zelevinsky. On présente un théorème affirmant que, sous ces conditions, $\pi$ admet un front d’onde et que l’on peut calculer celui-ci en fonction du paramètre d’Arthur de $\pi$.

Une paire $(G,G')$ de sous-groupes d'un groupe symplectique $\mathrm{Sp}_{2n}(q)$ est appel\'e \emph{duale} si chacun est le centralisateur de l'autre. Pour ces paires, R. Howe a introduit une correspondance qui envoie une représentation irréductible $\pi'$ de $G'$ dans un ensemble $\theta(\pi')$ de représentations irréductibles de $G$. Dans cet exposé on introduira les représentations cuspidales et unipotentes et on montrera comment choisir des représentations extrémales (minimale et maximale) de l'ensemble $\theta(\pi')$ pour des paires de type I et des représentations unipotentes $\pi'$ de $G'$. Ceci étend le cas demontré par Aubert et Przebinda où un des groupes dans la paire est groupe symplectique de dimension $4$ et l'autre est un groupe orthogonal déployé.

Dans cet exposé je vais expliquer un analogue en arithmétique du théorème de Beilinson-Bernstein classique. Soit $G$ un groupe réductif $p$-adique. On construit une anti-équivalence entre les $G$-représentations admissibles (au sens de Schneider-Teitelbaum) avec un caractère central et une catégorie de $D$-modules arithmétiques (au sens de Berthelot) équivariants sur la variété de drapeaux de $G$. Si le temps le permet, je vais discuter quelques applications au programme de Langlands $p$-adique. Il s'agit d'un travail commun avec Christine Huyghe, Deepam Patel et Matthias Strauch.

Dans cet exposé, nous parlerons de la cohomologie $\ell$-adique des champs classifiants des chtoucas pour un groupe réductif déployé constant sur un corps de fonctions. Nous construirons les morphismes termes constants sur les groupes de cohomologie et montrerons que la cohomologie cuspidale, définie comme intersection des noyaux de ces morphismes termes constants, est de dimension finie et qu'elle coïncide rationnellement avec la cohomologie Hecke-finie définie par V. Lafforgue. Les ingrédients essentiels sont la compatibilité de l'équivalence de Satake géométrique avec les foncteurs termes constants et la contractibilité relative des strates Harder-Narasimhan assez profondes dans les champs de chtoucas.

Suppose that $\rho$ is an irreducible automorphic $n$-dimensional global $p$-adic Galois representation that is upper-triangular locally at $p$. In previous work with Breuil we constructed a unitary representation of $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$ on a $p$-adic Banach space (depending only on $\rho$ locally at $p$) that is an extension of finitely many principal series, and we conjectured that this representation occurs globally in a space of $p$-adic automorphic forms cut out by $\rho$. In work in progress we prove many new cases of this conjecture, assuming that $\rho$ is moreover crystalline with distinct Hodge-Tate weights.

On discutera une approche de la conjecture principale d'Iwasawa via la méthode des systèmes d'Euler. Il s'agit de borner de la taille du groupe de Selmer par l'ideal du système d'Euler et d'étudier l'application de Coleman-Perrin-Riou qui transforme le système d'Euler en la fonction L p-adique. Nous allons donner les deux ingrédients qui sont encore valables dans le cas où le rang de la représentation est grand. Si le temps nous le permet, on discutera l'application de notre résultat au cas de système d'Euler de Beilinson-Flach.

The topological mirror symmetry conjecture of Hausel-Thaddeus predicts an equality of Hodge numbers of certain $SL_n$ and $PGL_n$-Higgs moduli spaces which are known to be SYZ-mirror partners. In my talk I will explain how to prove this conjecture my means of $p$-adic integration along the Hitchin fibration and indicate some possible further applications of this idea. This is joint work Michael Groechening and Paul Ziegler.

I will sketch the proof that every connected affine scheme in positive characteristic is a $K(\pi,1)$ space for the etale topology. The key technical ingredient is a “Bertini-type” statement regarding the wild ramification of $\ell$-adic local systems on affine spaces. Its proof uses in an essential way recent advances in higher ramification theory due to T. Saito. Time permitting, I will discuss some "anabelian" and "irregular" ramifications of the result.