Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

A. Mayeux : Soit k un corps p-adique et G un k-groupe réductif connexe. Suite aux travaux de Rémy-Thuillier-Werner (2009) concernant le point de vue de Berkovich (1990) sur les immeubles de Bruhat-Tits, nous remarquerons que la théorie des espaces k-analytiques de Berkovich peut être utilisée pour définir et paramétrer des filtrations k-analytiques pour G. Ainsi, nous expliquerons que l'on peut définir naturellement, pour tout point $x$ de l’immeuble de Bruhat-Tits de $G$ et tout réel positif $r$, un groupe analytique k-affinoïde $G_{x,r} \subset G^{an} $ (dont les $k$-points sont comparables aux filtrations de Moy-Prasad). Le bord de Shilov de $G_{x,r}$ est réduit à un point $\theta(x,r) \in G^{an}$ et $G_{x,r}$ peut être retrouvé à partir de $\theta(x,r)$ en prenant l'enveloppe convexe holomorphe. Nous montrerons que l'ensemble des points $\theta (x,r) $ (union l’élément neutre) ainsi obtenus forme un cône dans $G^{an}$ de base l’immeuble et de sommet l’élément neutre.
M. Zydor : Les périodes de formes automorphes ont une place importante dans la théorie de formes automorphes. Ils sont souvent liés aux valeurs spéciales de fonctions L et jouent une rôle dans l’arithmétique et la théorie de nombres analytique. Pour une forme automorphe sur un groupe G, sa période est une intégrale sur un sous-groupe de G. Si la forme n’est pas cuspidale une telle intégrale est d'habitude divergente. Il est néanmoins souvent possible d’étendre la définition d’une période à presque toutes formes ce qui a des applications directes à l’analyse de la période en question. Dans mon exposé, je vais décrire une construction générale de périodes dans le cas ou le sous groupe est réductif. Je vais aussi parler du travail en commun avec A. Pollack et C. Wan où on applique cette construction à l’etude de valeurs spéciales de certains fonctions L.

The classical Schottky problem asks how to characterize Jacobian varieties of smooth curves among abelian varieties; equivalently, in terms of their moduli spaces, the problem is about describing the Torelli locus in Siegel varieties. In positive characteristic, the first step is to study which Newton polygons occur for Jacobians of smooth curves. As a first example, for all special families of cyclic covers of the projective line considered by Moonen, we proved that every expected Newton polygon occurs via tools from PEL Shimura varieties. Based on these special families, we developed an inductive method to produce infinitely many examples of unlikely intersections of the Torelli locus with certain Newton polygon strata in the Siegel variety. This is joint work with Wanlin Li, Elena Mantovan, and Rachel Pries.

Soit F un corps local non archimédien de caractéristique différente de 2. La correspondance thêta locale sur F établit une bijection entre des sous-ensembles de représentations lisses irréductibles complexes d'un groupe réductif H et d'un autre groupe réductif H', où (H,H') forme une paire duale dans un groupe symplectique. Dans cet exposé, je montrerai comment on peut étendre cette théorie au cas des représentations l-modulaires où l est différent de p, et comment généraliser au cas l-modulaire la preuve récente de la correspondance par Gan-Takeda en supposant que l est assez grand.

Soit $X$ une courbe lisse projective sur un corps algébriquement clos de caracteristique $>2$, $G=GSp_4$ et $E$ un $G^L$-système local sur $X$ tel que sa représentation standard est un système local irréductible de rang $4$ sur $X$. On construit un faisceau automorphe associé à $E$ comme application des résultats plus géneraux sur le theta-lifting géométrique. La non-nullité de ce faisceau est liée avec certaines périodes des faisceaux automorphes pour $GL_4$.

The recent theory of prisms, currently developed by Bhargav Bhatt and Peter Scholze, allows the definition of an analog of crystalline sites in mixed characteristics. Using these prismatic sites we want to present a generalization of crystalline Dieudonne theory to quasi-syntomic rings and use it to obtain a classification of p-divisible groups over such rings by filtered prismatic Dieudonne crystals. This is joint work with Arthur-Cesar Le Bras.

The Breuil--Mézard conjecture relates the special fibers of local Galois deformation rings to the mod $p$ reduction of types for $GL(n)$. The known cases of this relation have powerful global consequences, and provide evidence for the existence of a $p$-adic local Langlands correspondence. In this talk we show that the conjecture implies an analogous statement for discrete series Galois deformations and unit groups of $p$-adic central division algebras. The main step is to construct a Jacquet-Langlands transfer of Serre weights to $GL(n)$, and to prove its compatibility with the reduction of types: this requires to prove a conjecture of Broussous, Sécherre and Stevens on the explicit description of the Jacquet-Langlands correspondence.

Une variété complexe compacte est hyperbolique si la pseudo-métrique de Kobayashi est une métrique. Brody a démontré que cette notion est équivalente à l'absence de courbes entières et une conjecture de Lang la relie à l'absence de morphismes à partir de groupes algébriques. Dans cet exposé on donne une version non-archimédienne de ces notions et conjectures et on les compare à celles classiques. En particulier, on montrera que les espaces de modules des variétés abéliennes sont analytiquement hyperboliques sur C((t)), et que l'"absence de groupes" passe aux générisations à travers des techniques non-archimédiennes. Travail en commun avec A. Javanpeykar.

We prove a comparison isomorphism of two PEL-type Rapoport-Zink spaces. One space is formulated in terms of strict $\mathcal{O}_F$-modules, the other in terms of $p$-divisible groups with (non-strict) $\mathcal{O}_F$-action. This result was originally motivated by the Arithmetic Fundamental Lemma of Wei Zhang which he has now proven in full generality. We will explain this motivation and how the comparison makes the direct computation of some cases possible.

Dans un travail avec E. Urban, nous démontrons une telle formule (sous certaines hypothèses). Dans le cas imaginaire quadratique, en comparant avec une légère généralisation d'un résultat de Galatius-Venkatesh, on propose un lien entre l'homologie d'une variété de Bianchi et le groupe de Selmer adjoint dual.

Let $F$ be a finite extension of ${\mathbb Q}_p$, let $n\in{\mathbb N}$, let $k$ be a (sufficiently large) field of characteristic $p$. Put $G={\rm GL}_n(F)$. Modules over the pro-$p$-Iwahori-Hecke algebra $H$ (over $k$) of $G$ may be thought of as approximating admissible smooth $G$-representations over $k$; a particular role is played be the so called supersingular ones. I will discuss an exact an fully faithful functor from the category of supersingular finite dimensional $H$-modules to the category of ${\rm Gal}(\overline{F}/F)$-representations over $k$.

On commence par rappeler un résultat de Hida qui relie l'existence d'une congruence modulo p entre deux formes modulaires elliptiques f et g de même poids et de même niveau et la divisibilité par p d'une valeur spéciale de la fonction L adjointe de la forme f. Ensuite, on discutera d'une extension de ce résultat pour l'existence d'une congruence entre une représentation automorphe cuspidale générique et endoscopique de $GSp(4)$ et une représentation automorphe cuspidale non-endscopique de $GSp(4)$. On utilise un resultat de Chen-Ichino qui calcule une norme de Petersson en terme de la valeur spéciale de la fonction L adjointe de $GSp(4)$. C'est un travail commun avec Francesco Lemma.

Soit $E/F$ une extension quadratique de corps finis. On note $G$ le groupe $GL(n,E)$, $H$ l'un des groupes $GL(n,F)$ ou $U(n,E/F)$ et $H'$ l'autre. D'après un résultat de Gow, Une représentation irréductible $H$-distinguée de $G$ est le transfert $BC_{H'}^G(\rho)$ d'une représentation irréductible $\rho$ de $H'$. Lorsque $\pi$ est générique et $H$-distinguée, on exprimera la $H$-période de la fonction de Bessel de $\pi$ en fonction de $dim(\rho)$. On discutera ensuite d'une application de cette formule et d'un analogue $p$-adique si le temps le permet. Il s'agit d'une collaboration avec U.K. Anandavardhanan.

Soit $X$ une variété lisse sur un corps fini $k$ et $f:Y \rightarrow X$ un revêtement étale. On démontre que pour tout premier $\ell$ suffisamment grand tout $\overline{\mathbb{F}}_\ell$-faisceau localement constant constructible de rang $r$, irréductible de déterminant trivial et modéré par f se relève de façon unique en un $\overline{\mathbb{Z}}_\ell$-faisceau lisse de déterminant trivial. Il s'agit d'une variante d'une conjecture de de Jong. La preuve repose sur les correspondances de Langlands $\ell$-adique et ultraproduit pour $GL_r$ et la conjecture des compagnons.

Les transformations de Fourier exotiques sur les fonctions sur un groupe réductif $G$ sont obtenues en transférant la transformation de Fourier classique sur $GL(n)$ à partir d'une représentation du dual $L(G)$ dans $GL(n)$. Par les travaux de Braverman-Kazhdan puis de Lafforgue, ces transformations de Fourier exotiques jouent un rôle important dans la fonctorialité. Dans cet exposé, on se limitera au cas des corps finis. On montrera une formule conjecturale de Braverman-Kazhdan pour le noyau exotique et nous discuterons des possibilités de prolonger ces transformations en des transformations involutives sur des espaces contenant $G$ (travail en cours avec G. Laumon).

J'expliquerai la preuve de la formule de multiplicité d'Arthur pour le groupe $GSp_4$ sur un corps de nombres, utilisant la stabilisation de la formule des traces tordues, le travail de Gan-Takeda et Chan-Gan sur la correspondance de Langlands locale pour $GSp_4$ sur un corps p-adique, des techniques de Moeglin et Moeglin-Waldspurger pour la construction directe de paquets d'Arthur non tempérés, la formule de multiplicité $Sp_4$ et $SO_5$, et la fonctorialité "carré extérieur" de $GL_4$ vers $GL_6$, due à Kim et Henniart. La preuve est donc indirecte mais permet en passant de démontrer la compatibilité fine entre les correspondances de Langlands pour $GSp_4$ et $Sp_4$ sur un corps $p$-adique. Travail en commun avec Toby Gee.

Pour les groupes classiques, les paquets d'Arthur sont déterminés par des identités endoscopiques, standard et tordue (Arthur 2013). Notre travail est motivé par deux problèmes : étant donné un paramètre d'Arthur, donner les paramètres de Langlands des représentations dans le paquet correspondant et établir une propriété de multiplicité un. Nous expliquerons comment l'induction parabolique et l'induction cohomologique de Vogan et Zuckerman nous ramènent au cas des paquets unipotents. Ceci permet de répondre dans certains cas aux deux problèmes posés, et dans les autres cas, nous expliquerons d'où viennent les obstacles.

Le poids d'une forme automorphe satisfait certaines conditions de positivité explicitées par Griffiths-Schmid. Dans cet exposé, on étudie la même question en caractéristique $p$. On verra que la réponse est beaucoup plus compliquée dans ce cas et est reliée à une question concrète en théorie des représentations des groupes réductifs.

Soit $G$ un groupe réductif connexe $p$-adique, $K $ un sous-groupe spécial parahorique, $V,V'$ des $\overline F_p$-représentations lisses irréductibles de $K$ d’induites compactes $\rho_V:=ind_K^GV, \rho_{V’}:=ind_K^GV' $ à $G$. Avec Abe et Herzig, nous avons décrit l'image par l'homomorphisme de Satake du bi-module de Hecke $ Hom_{\overline F_p[G]}(\rho_V, \rho_{V'})$ en utilisant l'algèbre de Hecke du pro-$p$ Iwahori. Une conséquence pratiquement immédiate est le théorème du changement de poids dans la preuve (avec Abe, Henniart et Herzig) de la classification des $\overline F_p$-représentations irréductibles admissibles de $G$ à partir des supercuspidales.

Je donnerai une classification des modèles arithmétiques à la Kisin-Pappas de variétés de Shimura à réduction simple. Le problème se réduit à une question sur les modèles locaux. Travail en commun avec G. Pappas et X. He.

In the 1990s Moy and Prasad revolutionized the representation theory of $p$-adic groups by showing how to use Bruhat-Tits theory to assign invariants to representations of $p$-adic groups. The tools they introduced resulted in rapid advancements in both representation theory and harmonic analysis -- areas of central importance in the Langlands program. A crucial ingredient for many results is an explicit construction of (types for) representations of $p$-adic groups. In this talk I will indicate why, survey what constructions are known and present recent developments based on a refinement of Moy and Prasad's invariants.

Soit $G$ un groupe réductif connexe défini sur un corps $p$-adique $F$. On suppose que la caractéristique résiduelle $p$ de $F$ est ”grande” relativement à $G$. Soit $\pi$ une représentation admissible irréductible de $G(F)$. Harish-Chandra a prouvé qu’au voisinage de tout élément semi-simple $s$ de $G(F)$, le caractère de $\pi$ s’exprimait à l’aide de transformées de Fourier d’intégrales orbitales nilpotentes dans l’algèbre de Lie du commutant de s. On énoncera un théorème affirmant que $\pi$ est de niveau 0 si et seulement si, pour tout $s$ d’une forme particulière, ce développement est valide sur le plus grand voisinage raisonnablement possible. Cela a une conséquence pour la théorie de l’endoscopie. Le transfert spectral a été défini par Arthur, avec pour objet de base le groupe de Grothendieck complexifié de la catégorie des représentations admissibles de longueur finie de $G(F)$. On montre que ce transfert existe encore et qu’il conserve les mêmes propriétés si on se limite aux représentations de niveau 0.

Soit $G$ un groupe profini topologiquement de type fini. Dans cet exposé on s'intéressera au problème des modules des représentations continues $\ell$-adiques du groupe $G$. D'après Deligne, ce problème des modules n'est pas représentable par un champ algébrique. On montrera néanmoins qu'il est représentable par un champ non-archimédien $Rep^{cont}(G)$​​ sur $\mathbb{Q}_\ell$. On se focalisera après sur les cas particulier où $G$ est le groupe fondamental étale d'une variété projective et lisse $X$ sur un corps algébriquement clos. Dans ce cas, on esquissera un lien entre une formule de comptage obtenue par V. Drinfeld et une formule de traces type Lefschetz sur $Rep^{cont}(\pi_1^{et}(X,x))​​$. Si le temps le permettra, on expliquera enfin que le champ $Rep^{cont}(G)$​​ a certaines structures additionnelles, comme par exemple une forme symplectique (décalée), qu'on peut utiliser pour mieux comprendre sa géométrie.

Je vais parler de mon article "groupes analytiques rigides $p$-divisibles" qui précède les travaux de Scholze-Weinstein et est utilisé par ceux-ci afin de classifier les groupes $p$-divisibles sur $\mathcal{O}_C$, $C$ extension algébriquement close complète des nombres $p$-adiques. On verra par exemple comment construire explicitement le groupe $p$-divisible associé à une paire $(T,W)$ ou bien comment associer un groupe rigide analytique à une représentation de Hodge-Tate à poids dans $\{0,1\}$, groupe qui a bonne réduction si et seulement si cette représentation est cristalline. J'en profiterai pour poser quelques questions concernant des extensions de ces résultats.

Je vais expliquer une nouvelle preuve de la stabilisation géométrique pour les fibres de Hitchin anisotropes, un énoncé clé dans la preuve de Ngô du lemme fondamental. Notre argument se fonde sur l'intégration $p$-adique d'après des idées de Denef-Loeser et Batyrev et sur la dualité de Langlands pour les fibres de Hitchin génériques. C'est un travail commun avec Michael Groechenig et Paul Ziegler.

There is a general philosophy that the image of a Galois representation should be as large as possible, subject to the symmetries of the geometric object from which it arose. This can be seen in Serre's open image theorem for non-CM elliptic curves, Ribet and Momose's work on Galois representations attached to modular forms, and recent work of the speaker and Conti, Iovita, Tilouine on Galois representations attached to Hida and Coleman families of modular forms. Recently, Bellaiche developed a way to measure the image of an arbitrary Galois representation taking values in $\mathrm{GL}(2)$ of a local ring $A$. Under the assumptions that $A$ is a domain and the residual representation is not too degenerate, we explain how the symmetries of such a representation are reflected in its image. This is joint work with Andrea Conti and Anna Medvedovsky.

Soient $E/F$ une extension quadratique de corps $p$-adiques et $U(n)\subset GL_n(E)$ un groupe unitaire de rang $n$ relativement à cette extension. Jacquet puis Feigon-Lapid-Offen ont étudié les représentations irréductibles admissibles $\pi$ de $GL_n(E)$ qui sont $U(n)$-distinguées c'est-à-dire admettant une réalisation dans un espace de fonctions sur $U(n)\backslash GL_n(E)$ ainsi que la multiplicité avec laquelle celles-ci apparaissent. Ils obtiennent une solution complète à ce problème pour les représentations génériques sauf dans le cas où $\pi$ appartient au lieu de ramification de l'application de changement de base d'Arthur-Clozel de $GL_n(F)$ vers $GL_n(E)$. Dans cet exposé, je montrerai comment on peut traiter ces cas manquants. Si le temps le permet, j'expliquerai aussi comment déduire des travaux de Jacquet et Feigon-Lapid-Offen une formule de Plancherel pour $U(n)\backslash GL_n(E)$ et je ferai le lien avec la factorisation des périodes unitaires de formes automorphes dans l'esprit d'une conjecture générale de Sakellaridis-Venkatesh.

Considérons une variété abélienne $A$ sur un corps de caractéristique $p$, munie de l'action de l'anneau des entiers d'un corps de nombres. On souhaite fixer le type de cette action sur le module des différentielles de $A$ ; lorsque $p$ est non ramifié, ce module se décompose en somme directe, et on peut fixer la dimension de chacun des facteurs. Si on autorise de la ramification, la situation est plus compliquée, et on est amené à introduire une condition de Pappas-Rapoport. Après avoir rappelé cette définition, je montrerai comment définir les polygones de Hodge et de Newton dans ce contexte, et détaillerai la construction d'un invariant de Hasse. Si le temps le permet, j'évoquerai les applications pour la géométrie des variétés de Shimura dans le cas ramifié. Il s'agit d'un travail en commun avec Valentin Hernandez.

Considérons un groupe réductif connexe sur un corps local et présumons la correspondance de Langlands locale pour ce groupe. Une conjecture due à Adams-Vogan et Prasad prédit que le L-paramètre d'une représentation irréductible lisse et celui de sa contragrédiente sont reliés par l'involution de Chevalley. Dans cet exposé, je vais expliquer qu'en caractéristique positive, cet énoncé est vrai par rapport à la paramétrisation de Langlands locale de Genestier-Lafforgue. Pour ce faire, on utilise un argument local-global.

Un résultat classique de géométrie des nombres, dû à Hermite et Minkowski, affirme qu'il n'existe qu'un nombre fini de corps de nombres de discriminant donné. J'en expliquerai une généralisation de nature automorphe ``en poids supérieurs" (mais tout de même inférieurs à 24...), dont la démonstration s'inspire des travaux d'Odlyzko, Stark et Serre sur les minorations de discriminants.

Pierre Deligne a donné une démonstration géométrique de l’énoncé principal de la théorie du corps des classes pour les courbes, dans le cas non ramifié. On se propose d’étendre sa méthode au cas général, c’est-à-dire au cas ramifié. On obtient simultanément une généralisation aux courbes relatives.

Kottwitz-Viehmann varieties are certain analogues of affine Springer fibers that show up when studying orbital integrals of spherical Hecke functions on a p-adic reductive group. We will explain the current state of knowledge about its basic geometric properties, including a dimension formula and a conjectural description of its number of irreducible components.