Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l'IMJ

Automorphy lifting theorems aim to show that a $p$-adic global Galois representation that is unramified almost everywhere and de Rham at places dividing $p$ is associated to an automorphic representation, provided its reduction modulo $p$ is. In the past years there has been a lot of progress in the case of polarizable representations that are crystalline at $p$. In the semi-stable case much less is known (beyond the ordinary case and the 2-dimensional case). I will explain how one can use results about $p$-adic automorphic forms in combination with the Taylor-Wiles method to deduce the semi-stable case from the crystalline case.

La correspondance de Langlands locale "en familles" a été introduite par Emerton et Helm pour décrire la partie "non Eisenstein" de la cohomologie complétée des courbes modulaires et, plus généralement, de certaines variétés de Shimura unitaires. Elle est de type "Galois vers automorphe" : à une représentation de Galois de rang n sur une $\mathbb{Z}_l$-algèbre locale complète A on veut associer une certaine représentation lisse à coefficients dans A de $GL_n$ qui "interpole" la correspondance de Langlands classique pour les points de caractéristique 0, et vérifie une propriété de généricité imposée par le "lemme d'Ihara". L'unicité de cette correspondance avait été établie par Emerton et Helm, mais son existence n'a été prouvée que récemment par Helm et Moss, après que Helm a montré comment elle découle d'un énoncé à la fois plus simple, plus élégant, et d'apparence plus faible, qui relie le centre de Bernstein des $\mathbb{Z}_l$-représentations avec l'anneau des fonctions sur l'espace grossier des représentations Galoisiennes. Dans cet exposé, j'expliquerai un programme visant à généraliser ces travaux à d'autres groupes réductifs, en m'attardant sur la description topologique de l'espace de modules grossier des paramètres "l-adiquement continus". Travail en commun avec Helm, Moss et Kurinczuk.

In the setting of the geometric Langlands conjecture, we argue that the phenomenon of divergence at infinity on the stack of G-bundles on a smooth complete curve is controlled by the locus of semisimple local systems (for the Langlands dual group). We prove this by first introducing the Deligne-Lusztig functors (substitutes for the Serre functors, which do not make sense in our situation), and then by describing these functors explicitly. Along the way, we obtain a global geometric version of a theorem of Lusztig on the Steinberg module.

Travail avec Charles De Clercq. Soit p un premier. Soit G un groupe profini. La question motivant ce projet s'énonce comme suit. (Q) Trouver une condition, portant sur G, assurant que toute représentation continue (=discrète) $G\rightarrow GL_n(\mathbf{F}_p)$ se relève en une représentation $G \rightarrow GL_n(\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z})$. Cette question conduit naturellement à la notion de lissité pour les groupes profinis. C'est une axiomatisation de la théorie de Kummer. La classe des groupes profinis lisses inclut les groupes fondamentaux de nombreux schémas- en particulier, des courbes sur les corps algébriquement clos, et des schémas locaux. J'expliquerai comment le relèvement des (complexes de) représentations galoisiennes implique le théorème de Rost-Suslin-Voevodsky. Je discuterai ensuite la géométrisation naturelle de (Q), en introduisant la notion de fibré G-linéarisé en vecteurs de Witt-ou $(G,W_n)$-fibré. J'exposerai les résultats positifs que l'on obtient- en particulier, les théorèmes de relèvement faible et fort. Un texte plutôt élémentaire, s'occupant du cas n=2, est déjà disponible à l'adresse https://webusers.imj-prg.fr/~mathieu.florence/LiftLow.pdf Le cas n>=3, bien plus complexe, est en fin de rédaction.

A chaque groupe réductif réel $G$, on peut associer un « groupe de déplacements de Cartan » $G_0$. C’est un groupe de Lie qui a la même dimension que $G$, mais une structure algébrique moins riche (produit semi-direct entre un sous-groupe compact maximal de G et un groupe abélien) et une théorie des représentations plus simple. En 1971, George Mackey a conjecturé l’existence d’une correspondance naturelle entre représentations (tempérées) de $G$ et représentations (unitaires) de $G_0$. En 1994, Alain Connes et Nigel Higson ont montré les liens entre cette idée et la conjecture de Baum-Connes-Kasparov en K-théorie des algèbres d’opérateurs. Je décrirai une bijection naturelle entre le dual tempéré de $G$ et le dual unitaire de $G_0$, d’abord algébriquement, puis géométriquement grâce à l’existence d’une déformation reliant les deux groupes. Je dirai aussi comment l’isomorphisme de Baum-Connes-Kasparov découle des propriétés topologiques de la correspondance.

A classical interpolation construction gives rise to a natural action of the Langlands dual Lie algebra on the Mirkovic-Vilonen fiber functor from the spherical Hecke category of equivariant perverse sheaves on the affine Grassmannian of a reductive group. This is a joint work with Vasily Krylov.

Les intégrales orbitales jouent un rôle fondamental dans la formule des traces de Selberg et dans l’approche d' Harish-Chandra de la formule de Plancherel. Dans cet exposé, j’expliquerai une formule géométrique pour les intégrales orbitales semisimples associées à tous les éléments du centre de l’algèbre enveloppante. Cette formule généralise la formule obtenue par Bismut pour les noyaux associés au Casimir. Il s’agit d’un travail en collaboration avec J.-M. Bismut.

Bhatt, Morrow et Scholze ont défini récemment une nouvelle théorie cohomologique p-adique entière qui unifie les théories connues. La catégorie cible de cette cohomologie est munie d'une structure cachée, mais implicite, que nous essaierons de dévoiler: elle est munie d'un formalisme de type Harder-Narasimhan, analogue à celui découvert par Fargues pour les groupes p-divisibles. Il s'agit d'un travail en commun avec Macarena Peche Irissarry.

Une représentation de Banach admissible d'un groupe de Lie p-adique possède une notion de dimension, il s'agit de la dimension du support d'un certain module en théorie d'Iwasawa. Nous allons expliquer comment l'existence d'un caractère infinitésimal sur les vecteurs localement analytiques d'une telle représentation permet de borner supérieurement sa dimension et expliquer pourquoi un tel caractère existe souvent dans le cadre des représentations provenant de la théorie des formes automorphes p-adiques. Il s'agit d'un travail en commun avec Gabriel Dospinescu et Vytautas Paskunas.

La cohomologie sur $\mathbb{Z}_l$ des variétés de Shimura, pourvu qu’on augmente le niveau en $l$, n’est pas libre. Dans cet exposé on exploitera l’approche "cycles évanescents" relativement explicite du calcul de la cohomologie dans le cadre des variétés de Shimura de type Kottwitz-Harris-Taylor pour donner de nouveaux cas d’annulation de la torsion après localisation en un idéal maximal $\mathfrak{m}$ d’une algèbre de Hecke non ramifiée. On se concentrera essentiellement sur un cas intéressant en vue du lemme d’Ihara, celui où $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est irréductible.

Lusztig's classification divides the representation theory of $G(F_q)$ ($G$ a reductive algebraic group) in to its semisimple and unipotent parts in analogy to the Jordan decomposition. I will explain a refinement of this idea in the geometric setting. Namely, we will exhibit the collection of categorical representations of the reductive group $G$ (over the complex numbers) as sheaf over the moduli of semisimple conjugacy classes in the dual group, whose fibers may be understood as unipotent representations for a smaller reductive group. One motivation is to study the cohomology of $G(C)$-character varieties of surfaces and its relations with the representation theory of $G(F_q)$. This is joint work with David Ben-Zvi.

For a reductive group $G$ over a local non-archimedean field $K$ one can mimic constructions from the classical Deligne-Lusztig theory by using the loop space functor. In special cases - attached to $G$ = inner form of $GL_n$, and Coxeter elements in the Weyl group - we show that the resulting fpqc-sheaves on algebras over the residue field of $K$ are representable by schemes. Their $\ell$-adic cohomology realizes many irreducible supercuspidal representations of $G$, notably almost all among those whose L-parameter factors through an unramified elliptic maximal torus of $G$. This gives a purely local, purely geometric and - in a sense - quite explicit way to realize special cases of the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences.

I will introduce the ordinary part (in the sense of Hida) of the higher coherent cohomology of Hilbert modular varieties and explain what we know about it: vanishing results and Hida style control theorems. This is joint work in progress with Vincent Pilloni.

Dans plusieurs contextes, tels que la formule du produit pour la fibration de Hitchin sur le lieu génériquement régulier semisimple, la géométrie du préchamp $[G(k((t))/Ad(G(k((t)))]$ ou pour comprendre les lacets dans un champ algébrique, il est indispensable d'établir des résultats de structure et d'annulation pour les $G$-torseurs sur les anneaux de séries de Laurent. Dans cet exposé, on présente des résultats généraux d'algébrisation, une formule pour $Pic(R((t)))$ ainsi que des résultats d'annulation utiles pour ces problèmes. C'est un travail en commun avec K. Cesnavicius.

I will present a recent work with Binyong Sun and Chengbo Zhu on unipotent representations of real classical groups (real symplectic groups, real orthogonal groups, quaternionic orthogonal groups or quaternionic symplectic groups). These are certain irreducible admissible representations characterized by their associated varieties and infinitesimal characters. They suppose to form the unipotent Arthur packet and are related to the quantization of nilpotent orbits. Barbasch and Vogan established the theory of special unipotent representations for complex groups and unitary groups. They also made conjectures for the general case, including a conjecture that unipotent representations attached to special nilpotent orbits are unitarizable. In 90's, thanks to many peoples work, it becomes clear that iterated theta lifting could be an effective way to construct unipotent representations of real classical groups. In our work, we constructed all unipotent representations attached to quasi-disdistinguished nilpotent orbits utilizing algebraic and analytic properties of theta lifts. The unitarity of these representations follows from the construction, thanks to Jian-shu Li, Hongyu He and Harris-Li-Sun's results on matrix coefficients integral. The construction of unipotent representations attached to a general special unipotent is working in progress (joint with Barbasch, Sun and Zhu).